Sferna Beselova funkcija

Sferne Beselove funkcije $j_{n}$ i $y_{n}$ ($n_{n}$) predstavljaju rešenja diferencijalne jednačine:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.$

tj. radijalne jednačine, koja se dobija separacijom varijabli prilikom rešavanja Helmholcove jednačine u sfernim koordinatama. Funkcije $j_{n}$ nazivaju se sfernim Beselovim funkcijama prve vrste, a $y_{n}$ (ili $n_{n}$) nazivaju se sfernim Beselovim funkcijama druge vrste ili sfernim Nojmanovim fukcijama.

Sferne Beselove funkcije prve vrste $j_{n}$(x) za n = 0, 1, 2

Definicija

Dva linearno nezavisna rešenja gornje diferencijalne jednačine nazivaju se sferne Beselove funkcije $j_{n}$ i $y_{n}$ ($n_{n}$), a sa običnim Beselovim funkcijama J_n and Y_n povezane su izrazom:

$j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),$

$y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{-n-1/2}(x).$

$y_{n}$ se često označava sa $n_{n}$ ili η_n, i ponekad se nazivaju sferne Nojmanove fukcije.

Sferne Beselove funkcije mogu da se napišu i kao:

$j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\sin x}{x}},$

$y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\cos x}{x}}.$

Prikaz prvih nekoliko sfernih Beselovih funkcija

Sferne Beselove funkcije druge vrste $n_{n}$(x), za n = 0, 1, 2

Nekoliko prvih sfernih Beselovih funkcija prve vrste je:

$j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}$

$j_{1}(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}}$

$j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}}$

$j_{3}(x)=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}},$

i za funkcije druge vrste:

$y_{0}(x)=-j_{-1}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x}}$

$y_{1}(x)=j_{-2}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}}$

$y_{2}(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}}$

$y_{3}\left(x\right)=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.$

Relacije ortogonalnosti

$\int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})j_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[j_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m})]^{2}\!$

gde je α > −1, δ_m,n Kronekerova delta funkcija, a u_α,m je m-ti koren (nula) funkcije of j_α(x). Relacije ortogonalnosti služe da bi se odredili koeficijenti razvoja funkcija u sferni Beselov red.

Druga relacija ortogonalnosti je:

$\int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)dx={\frac {\pi }{2u^{2}}}\delta (u-v)\!$

a tu je δ Dirakova delta funkcija.

Asimptotski oblik

$j_{l}(x)={\frac {1}{x}}sin\left(x-{\frac {l\pi }{2}}\right){\text{ za }}x\gg l$

$n_{l}(x)={\frac {-1}{x}}cos\left(x-{\frac {l\pi }{2}}\right){\text{ za }}x\gg l$

Za slučaj kada x teži 0 dobijaju se sledeći izrazi:

$j_{l}(x)={\frac {x^{l}}{(2l+1)!!}}\left(1-{\frac {x^{2}}{2(2l+3)}}+..\right){\text{ za }}x\to 0$

$n_{l}(x)={\frac {(2l+1)!!}{(2l+1)}}{\frac {1}{x^{l+1}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{2(2l-1)}}+..\right){\text{ za }}x\to 0$

Formule rekurzije

${\begin{aligned}{\frac {2l+1}{x}}j_{l}&=j_{l-1}(x)+j_{l+1}(x)\\j'_{l}(x)&={\frac {1}{2l+1}}\left(lj_{l-1}(x)-(l+1)j_{l+1}(x)\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(xj_{l}(x))&=xj_{l-1}(x)-lj_{l}(x)\end{aligned}}$

Slične rekurzije postoje i za sfernu Nojmanovu funkciju:

${\begin{aligned}{\frac {2l+1}{x}}n_{l}&=n_{l-1}(x)+n_{l+1}(x)\\n'_{l}(x)&={\frac {1}{2l+1}}\left(ln_{l-1}(x)-(l+1)n_{l+1}(x)\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(xn_{l}(x))&=xn_{l-1}(x)-ln_{l}(x)\end{aligned}}$.

Generirajuće funkcije

Generirajuće funkcije sfernih Beselovih funkcija su:

${\frac {1}{z}}\cos {\sqrt {z^{2}-2zt}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),$

${\frac {1}{z}}\sin {\sqrt {z^{2}+2zt}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).$

Sferne Hankelove funkcije h_n

Postoji i sferni analog Hankelovih funkcija, koje su kombinacija sfernih Beselovih funkcija:

$h_{n}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+iy_{n}(x)\,$

$h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\,$

Pojavljuju se u sfernim problemima rasprostiranja talasa, kao npr. prilikom multipolnoga razvoja elektromagnetskoga talasa.

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.