Teorema o zatvorenom grafiku

U matematici, teorema o zatvorenom grafiku je temeljni rezultat klasične funkcionalne analize, koji karakteriše neprekidna linearna preslikavanja između Banahovih prostora svojstvima njihovih grafika.

Iskaz uredi

Grafik ma kog preslikavanja A : X → Y se definiše kao { (x,Ax) ∈ X×Y | x ∈ X }.

Teorema o zatvorenom grafiku glasi:

Neka su X i Y Banahovi prostori i A : X → Y svugde definisano linearno preslikavanje (tj. domen D(A) je ceo prostor X). Tada je A neprekidno ako i samo ako je zatvoreno, odnosno, ako je njegov grafik zatvoren u X×Y (sa topologijom proizvoda).

Uslov da je A svugde definisano je neophodan jer postoje zatvorena neograničena linearna preslikavanja. Uobičajeni dokaz teoreme o zatvorenom grafiku koristi teoremu o otvorenom preslikavanju.

Dokaz

Neka su p1 : X×Y → X i p2 : X×Y → Y projekcije na X i Y; one su neprekidne po definiciji topologije proizvoda. Pretpostavimo prvo da je A neprekidno preslikavanje i (xn,Axn) niz tačaka na grafiku G(A) koje konvergiraju nekoj tački (x,y) ∈ X×Y. Prema neprekidnosti projekcija je

xn = p1(xn,Axn) → p1(x,y) = x     i     Axn = p2(xn,Axn) → p2(x,y) = y.

Prema neprekidnosti preslikavanja A je sa druge strane Axn → Ax. Stoga je y = Ax, te je (x,y) ∈ G(A). To dokazuje da je G(A) zatvoren skup.

Glavni deo tvrđenja je obrnuti stav, da zatvorenost grafika G(A) povlači da je preslikavanje A neprekidno. G(A), kao zatvoren vektorski potprostor Banahovog prostora X×Y i sam Banahov. p1|G(A) : G(A) → X je bijektivno neprekidno linearno preslikavanje između Banahovih prostora, te je prema teoremi o otvorenom preslikavanju i otvoreno. Stoga je neprekidno njemu inverzno preslikavanje  , a samim tim i  .

Uslov da je grafik preslikavanja A zatvoren podskup proizvoda X×Y ekvivalentan je iskazu da

ako je {xn} niz u X takav da xn → x i Axn → y, tada je y=Ax.

Prema teoremi o zatvorenom grafiku, za linearno preslikavanje A između Banahovih prostora X i Y, ovo je ekvivalentno sa uslovom neprekidnosti:

ako je {xn} niz u X takav da xn → x, tada i Axn → Ax.

Opštiji oblik uredi

U kontekstu topoloških vektorskih prostora, teorema o zatvorenom grafiku ima sledeći opštiji oblik:

Linearno preslikavanje iz bačvastog prostora X u Frešeov prostor Y je neprekidno ako i samo ako je njegov grafik zatvoren u X×Y sa topologijom proizvoda.