Teorema o otvorenom preslikavanju

Dve se teoreme u matematici nazivaju imenom teorema o otvorenom preslikavanju.

Funkcionalna analiza

U funkcionalnoj analizi, teorema o otvorenom preslikavanju (ponekad: teorema Banaha o otvorenom preslikavanju, Banah-Šauderova teorema) je sledeći temeljni rezultat:

Neka su X i Y Banahovi prostori i $A:X\to Y$ surjektivno neprekidno linearno preslikavanje. Tada je A otvoreno preslikavanje (odnosno, ako je $U\subset X$ otvoren, tada je i slika $f(A)\subset Y$ otvoren skup).

Dokaz teoreme o otvorenom preslikavanju koristi Berovu teoremu o kategoriji. Teorema važi i za Frešeove prostore, koji takođe imaju Berovo svojstvo.

Ova teorema ima brojne važne posledice, među kojima posebno:

• Ako je $A:X\to Y$ bijektivno neprekidno linearno preslikavanje Banahovih prostora X i Y, tada je inverzno preslikavanje $A^{-1}:Y\to X$ takođe neprekidno, odnosno A je homeomorfizam (teorema o inverznom preslikavanju, Banahova teorema o izomorfizmu).
• Ako je $A:X\to Y$ linearno preslikavanje između Banahovih prostora X i Y, i ako iz $x_{n}\to 0$ i $Ax_{n}\to y$ za niz elemenata $x_{n}\in X$ i $y\in Y$ sledi $y=0$, tada je A neprekidno.

Potonje tvrđenje se naziva teoremom o zatvorenom grafiku, pošto tvrdi da je linearno preslikavanje $A:X\to Y$ između Banahovih prostora neprekidno ako i samo ako je njegov grafik $G_{A}=\{(x,Ax):x\in X\}$ zatvoren podskup proizvoda $X\times Y$.

Dokaz

Potrebno je dokazati da A slika otvorene skupove u otvorene. Prema linearnosti, dovoljno je dokazati da za svako $\epsilon >0$ postoji $\delta >0$ takvo da je

$B_{Y}(0,\delta )\subset A(B_{X}(0,\epsilon ))$;

štaviše, kako je A i homogeno, ovo je dovoljno dokazati za jedno ε. Posmatrajmo zatvorene skupove

$Y_{n}={\overline {A(B_{X}(0,n))}}$.

Kako je A surjektivno preslikavanje, $Y=\cup _{n\in {\mathbb {N} }}Y_{n}$. Y je Banahov prostor, dakle i kompletan metrički, te prema Berovoj teoremi o kategoriji neki Y_N ima nepraznu unutrašnjost, dakle sadrži neku otvorenu kuglu $B_{Y}(y,\eta )$. Prema linearnosti,

$B_{Y}(0,\eta )\subset Y_{N}+Y_{N}\subset Y_{2N}$.

Dokažimo sada da

$B_{Y}(0,\eta /2)\subset A(B_{X}(0,2N))$.

Prema homogenosti imamo da je

$B_{Y}(0,\eta /2^{k})\subset {\overline {A(B_{X}(0,2N/2^{k}))}}$.

Neka je $y_{0}\in B_{Y}(0,\eta /2)$. Prema gornjoj jednačini možemo naći $x_{0}\in B_{X}(0,N)$ tako da je

$\|y_{0}-Ax_{0}\|_{Y}<\eta /4$, odnosno $y_{1}:=y_{0}-Ax_{0}\in B_{Y}(0,\eta /4)$.

Na isti način možemo naći i $x_{1}\in B_{X}(0,N/2)$ tako da je $y_{2}:=y_{1}-Ax_{1}\in B_{Y}(0,\eta /8)$, i tako dalje:

$x_{k}\in B_{X}(0,N/2^{k})$, $y_{k+1}:=y_{k}-Ax_{k}\in B_{Y}(0,\eta /2^{k+2})$.

Sabirajući prvih n ovih jednakosti imamo

$y_{0}=A(x_{0}+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1})+y_{n}.$

Kako je $\|x_{k}\|_{X}<N/2^{k}$, to red $\sum _{k=0}^{\infty }x_{k}$ konvergira u Banahovom (dakle kompletnom) prostoru X; označimo njegovu sumu sa x. Kako je A neprekidno preslikavanje, imamo da je $\sum _{k=0}^{\infty }Ax_{k}=Ax$. U gornjoj jednačini prelaskom na graničnu vrednost tako sledi

$y_{0}=Ax.$

Kako je

$\|x\|_{X}<N+N/2+N/4+\cdots =2N$

i $y_{0}\in B_{Y}(0,\eta /2)$ je bilo proizvoljno, tvrđenje sledi.

Kompleksna analiza

U kompleksnoj analizi, ponekad se (posebno u zemljama engleskog govornog područja) teoremom o otvorenom preslikavanju naziva tvrđenje da je za svaki otvoren podskup $U\subseteq {\mathbb {C} }$ i svaku nekonstantnu holomorfnu funkciju $f:U\to {\mathbb {C} }$, skup $f(U)$ otvoren; drugim rečima, svaka nekonstantna holomorfna funkcija je otvoreno preslikavanje (slike otvorenih podskupova ${\mathbb {C} }$ su takođe otvoreni podskupovi).