Frobenijusov metod

Frobenijusov metod predstavlja jedan od metoda rešavanja diferencijalnih jednačina drugoga reda oblika:

gde su:

i u blizini regularnoga singulariteta z=0. Podelimo li sa z2 dobijamo diferencijalnu jednačinu:

Metoda je dobila ime po nemačkom matematičaru Ferdinandu Frobenijusu.

Metoda

uredi

Prema Frobenijusovoj metodi tražimo rešenje u obliku reda:

 

Diferenciranjem dobijamo:

 
 

Posle toga gore dobiujene redove supstituiramo u diferencijalnu jednačinu i dobijamo:

 

Inicijalni polinom je sledeći izraz:

 

Prema opštoj definiciji inicijalni polinomi su koeficijenti najnižega stepena po z. Opšti izraz za koeficijente od zk + r je:

 

Ti koeficijenti treba da budu jednaki nuli, jer oni treba da predstavljaju rešenja diferencijalne jednačine, pa sledi:

 
 
 

Gornje rešenje sa Ak je:

 

i zadovoljava:

 

Odaberemo li jedan od korena inicijalnoga polinoma, tada dobijamo rešenje diferencijalne jednačine.

Primer

uredi

Pokušamo li da rešimo sledeći diferencijalnu jednačinu:

 

Podelimo li je sa z2 dobijamo:

 

Pretpostavljamo rešenja u obliku reda:

 
 
 

i ta rešenja supstituiramo u gornju jednačinu:

 

Pomeramo indekse poslednje sume, tako da se dobija:

 

Startni indeks za k=0 se posebno piše, pa se dobija:

 

Jedno rešenje dobijamo rešavanjem inicijalnoga polinoma r(r − 1) − r + 1 = r2 − 2r + 1 = 0, odnosno dobijamo da je 1 dvostruki koren. Koristeći taj koren koeficijenti od zk + r − 2 treba da budu nula, šta daje rekurziju:

 
 

Pošto je omer   racionalna funkcija onda se red može napisati kao opšti hipergeometrijski red.

Literatura

uredi