Апелов низ

Апелов низ представља низ полинома, који задовољавају идентитет:

${d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),$

Добили су име по француском математичару Паулу Апелу. Поред тривијалнога примера { xⁿ } у Апелов низ спадају између осталих Ермитеови полиноми, Лагерови полиноми, Бернулијеви полиноми и Ојлерови полиноми.

Еквивалентни услови

Постоји више еквиувалентних услова за Апелов низ:

• За n = 1, 2, 3, ..,

${d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)$

и p₀(x) је константа различита од нуле;

• За неке низове {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} уз 'c₀ ≠ 0,

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}c_{k}x^{n-k};$

• За исте низове скалара,

$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n},$

где је

$D={d \over dx};$

• За n = 0, 1, 2, ..,

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)y^{n-k}.$

Рекурзија

Претпоставимо

$p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},$

где последња једнакост дефинише линеарни оператор S на простору полинома по x. Нека је инверзни оператор:

$T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}$

Тада су a_k реципрочни коефицијенти, тако да је

$Tp_{n}(x)=x^{n}.\,$

Може да се дефинише:

$\log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}\right)$

користећи уобичајен развој функције log(1 + x), па се добија:

$p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,$

Подгрупа Шеферових полинома

Скуп свих Апелових низова затворен је за операције умбрал композиције низова полинома. Препоставимо да су задана два полиномна низа { p_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } и { q_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } и да су дана са:

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{i}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.$

Онда је умбрал композиција p o q полиномни низ чији је n-ти члан дан са:

$(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq k\leq \ell \leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }$

Шеферов низ је некомутативна група, тј није Абелова група. Међутим скуп свих Апелових низова је Абелова подгрупа Шиферове групе.

Литература

• Апелови полиноми
• Paul Appell, "Sur une classe de polynômes", Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure 2e série, tome 9, 1880
• Steven Roman and Gian-Carlo Rota, "The Umbral Calculus", Advances in Mathematics, volume 27, pages 95 – 188, (1978)
• G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, "Finite Operator Calculus", Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975
• Steven Roman, The Umbral Calculus. Dover Publications
• Theodore Seio Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, New York. 1978. ISBN 978-0-677-04150-6.