Децимала

Децимала или фракција ненегативног реалног броја $x$ , $frac(x)$ је вишак који остане од целог броја. Ако је тај цео број дефинисан као највећи цео број који није већи од $x$ и називамо га целим делом броја $x$ ( $\lfloor x\rfloor$ ), његова децимала се може записати као

$\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0.$

За позитиван број записан у конвенционалном позиционом бројевном систему (као што је бинарни или декадни), његова децимала одговара цифрама које се налазе након децималног сепаратора.

За негативне бројеве уреди

У случају негативних бројева, међутим, постоје различити супротстављени начини проширења функције фракционог дела броја: дефинише се или на исти начин као и за позитивне бројеве, тј. као $\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor$ ^[1] или као део броја који је десно од децималног сепаратора, $\operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor$ ^[2], или парном функцијом^[3]

$\operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}$

где је $\lceil x\rceil$ најмањи цео број који није мањи од $x$ . Због тога можемо добити, на пример, три различите вредности за децимални дие само једног $x$ : узмимо -1,3, његов децимални део ће бити 0,7 према првој дефиницији, 0,3 према другој дефиницији и -0,3 према трећој дефиницији, чији се резултат може добити и на директан начин употребом

$\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)$ .

Јединствено разлагање на целе и децималне делове уреди

По првој дефиницији, сви реални бројеви могу бити записани у облику $n+r$ , где је $n$ број лево од децималног сепаратора, а преостали децимални део $r$ је ненегативни реалан број мањи од један. Ако је $x$ позитиван рационалан број, онда се децимални део $x$ може изразити у облику $p/q$ , где су $p$ и $q$ цели бројеви и важи $0\leq p<q$ . На пример, узмимо да је x = 1,05, онда је децимални део x 0,05 и може се изразити као 5/100 = 1/20.

Однос са верижним разломцима уреди

Сваки реалан број може се суштински јединствено представити као верижни разломак, односно као збир његовог целог дела и реципрочне вредности његовог децималног дела који је написан као збир његовог целог дела и његовог децималног дела, и тако даље.

Референце уреди

^ Graham, Ronald L. (1994). Concrete mathematics : a foundation for computer science. Knuth, Donald Ervin, 1938-, Patashnik, Oren. (2. изд.). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC 29357079.
^ A Dictionary of Computing (6. изд.). Oxford, New York: Oxford University Press. 2008. ISBN 9780199234011.
^ Weisstein, Eric W. „Fractional Part”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 26. 09. 2018.

[1] Graham, Ronald L. (1994). Concrete mathematics : a foundation for computer science. Knuth, Donald Ervin, 1938-, Patashnik, Oren. (2. изд.). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC 29357079.

[2] A Dictionary of Computing (6. изд.). Oxford, New York: Oxford University Press. 2008. ISBN 9780199234011.

[3] Weisstein, Eric W. „Fractional Part”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 26. 09. 2018.

[1]

[2]

[3]