Елементарна формулација
уреди
Апстрактна формулација
уреди
Нека је R комутативни прстен , а A n ×n матрица са коефицијентима из R . Онда
A
d
j
(
A
)
A
=
d
e
t
(
A
)
I
{\displaystyle \mathrm {Adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,}
где Adj(A ) означава адјунговану матрицу матрице A , det(A ) је детерминанта, а I је јединична матрица .
Добар начин да се Крамерово правило искористи за матрице димензије 2×2 је помоћу следеће формуле:
a
x
+
b
y
=
e
{\displaystyle ax+by={\color {red}e}\,}
и
c
x
+
d
y
=
f
{\displaystyle cx+dy={\color {red}f}\,}
,
што се може записати у матричном облику
[
a
b
c
d
]
[
x
y
]
=
[
e
f
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}
x и y се могу наћи Крамеровим правилом:
x
=
|
e
b
f
d
|
|
a
b
c
d
|
=
e
d
−
b
f
a
d
−
b
c
{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}
и
y
=
|
a
e
c
f
|
|
a
b
c
d
|
=
a
f
−
e
c
a
d
−
b
c
{\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}}
Правило за матрице димензије 3×3 је слично.
a
x
+
b
y
+
c
z
=
j
{\displaystyle ax+by+cz={\color {red}j}\,}
,
d
x
+
e
y
+
f
z
=
k
{\displaystyle dx+ey+fz={\color {red}k}\,}
и
g
x
+
h
y
+
i
z
=
l
{\displaystyle gx+hy+iz={\color {red}l}\,}
,
што се може записати у матричном облику
[
a
b
c
d
e
f
g
h
i
]
[
x
y
z
]
=
[
j
k
l
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}
x, y и z се могу наћи на следећи начин:
x
=
|
j
b
c
k
e
f
l
h
i
|
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}
,
y
=
|
a
j
c
d
k
f
g
l
i
|
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
{\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}
, and
z
=
|
a
b
j
d
e
k
g
h
l
|
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
{\displaystyle z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}
Примене у диференцијалној геометрији
уреди
Крамерово правило је врло корисно за решавање проблема у диференцијалној геометрији. Узмимо две једначине
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,u,v)=0\,}
и
G
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
{\displaystyle G(x,y,u,v)=0\,}
. Када су u и v независне променљиве, можемо да дефинишемо
x
=
X
(
u
,
v
)
{\displaystyle x=X(u,v)\,}
и
y
=
Y
(
u
,
v
)
{\displaystyle y=Y(u,v)\,}
.
Налажење једначине за
∂
x
/
∂
u
{\displaystyle \partial x/\partial u}
је тривијално применом Крамеровог правила.
Прво израчунамо прве изводе за F, G, x и y.
d
F
=
∂
F
∂
x
d
x
+
∂
F
∂
y
d
y
+
∂
F
∂
u
d
u
+
∂
F
∂
v
d
v
=
0
{\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0}
d
G
=
∂
G
∂
x
d
x
+
∂
G
∂
y
d
y
+
∂
G
∂
u
d
u
+
∂
G
∂
v
d
v
=
0
{\displaystyle dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0}
d
x
=
∂
X
∂
u
d
u
+
∂
X
∂
v
d
v
{\displaystyle dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv}
d
y
=
∂
Y
∂
u
d
u
+
∂
Y
∂
v
d
v
{\displaystyle dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv}
Заменом dx, dy у dF и dG, добијамо:
d
F
=
(
∂
F
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
u
+
∂
F
∂
u
)
d
u
+
(
∂
F
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
v
+
∂
F
∂
v
)
d
v
=
0
{\displaystyle dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0}
d
G
=
(
∂
G
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
u
+
∂
G
∂
u
)
d
u
+
(
∂
G
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
v
+
∂
G
∂
v
)
d
v
=
0
{\displaystyle dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0}
Како су u, v обе независне, коефицијенти du, dv морају бити једнаки нули. Тако да можемо да напишемо:
∂
F
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
u
=
−
∂
F
∂
u
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}}
∂
G
∂
x
∂
x
∂
u
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
u
=
−
∂
G
∂
u
{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}}
∂
F
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
F
∂
y
∂
y
∂
v
=
−
∂
F
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}}
∂
G
∂
x
∂
x
∂
v
+
∂
G
∂
y
∂
y
∂
v
=
−
∂
G
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}}
Сада, применом Крамеровог правила видимо да:
∂
x
∂
u
=
|
−
∂
F
∂
u
∂
F
∂
y
−
∂
G
∂
u
∂
G
∂
y
|
|
∂
F
∂
x
∂
F
∂
y
∂
G
∂
x
∂
G
∂
y
|
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}}
Ово сада је формула у облику два јакобијана :
∂
x
∂
u
=
−
(
∂
(
F
,
G
)
∂
(
y
,
u
)
)
(
∂
(
F
,
G
)
∂
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}}
Сличне формуле се могу извести за
∂
x
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}}
,
∂
y
∂
u
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial u}}}
,
∂
y
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial v}}}
.