Спљоштени сфероидни систем

Спљоштени сфероидни систем у тродимензионалном простору представља ортогонални координатни систем настао ротацијом сфероида око мале оси, на којој се не налазе фокуси. Спљоштене сфероидне координате користе се да се реше различите парцијалне диференцијалне једначине, у којима гранични услови одговарају спљоштеном сфероиду са два фокуса на великој оси.

Дефиниција

Најчешћа дефиниција издужених сфероидних координата $(\mu ,\nu ,\phi )$ је:

$x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi$

$y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi$

$z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu$

где је $\mu$ ненегативан реални број, а $\nu \in [-\pi /2,\pi /2]$.

Координатне површи

Површи константнога $\mu$ чине спљоштене сфероиде, што се види квадрирањем и сређивањем горенаведених релација:

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

Оне представљају елипсе, које се ротирају око z оси, која раздваја фокусе. Елипса у x-z равни има већу полуос дужине a cosh μ дуж x оси, а мања полуос је a sinh μ дуж z оси.

На сличан начин добија се и следећа релација:

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$

из које се види да површи константнога $\nu$ чине хиперболоиде.

Ламеови коефицијенти

Ламеови коефицијенти скалирања су:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}$

$h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu$

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi$

а Лапласијан је:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu +\cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$

Друга верзија

Спљоштени сфероидни систем може да се параметризира и са друге три координате $(\zeta ,\xi ,\phi )$, које су са картезијевим координатама повезане следећом релацијом:

$x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi \,$

$y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi \,$

$z=a\zeta \xi \,$

Ламеови коефицијенти друге верзије

$h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}$

$h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}$

$h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}$

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi$

а Лапласијан је:

$\nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}$

Трећа верзија

Трећа верзија система има следеће три координате $(\sigma ,\tau ,\phi )$ дефинисане са:

$x=a\sigma \tau \cos \phi \,$

$y=a\sigma \tau \sin \phi \,$

$z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)$

Ламеови коефицијенти скалирања су:

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}$

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}$

$h_{\phi }=a\sigma \tau$.

Инфинитезимални елемент запремине је:

$dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi$

а Лапласијан је:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$

Литература

• Спљоштени сфероидни систем
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X

Види још

• Правоугли координатни систем
• Сферни координатни систем
• Елиптични координатни систем
• Издужени сфероидни координатни систем