Степени ред

У математици, степени ред (једне променљиве) је ред облика

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

где a_n представља коефицијент n-тог сабирка, c је константа, а x је променљива близу c. Ови редови се често јављају у виду Тејлорових редова неке дате функције; у чланку о Тејлоровим редовима се могу наћи примери.

Јако често се узима да је c једнако нули, на пример, када се разматрају Маклоренови редови. У овим случајевима, степени ред има једноставнији облик

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .$

Овакви степени редови се јављају углавном у анализи, али такође и у комбинаторици (као генераторне функције) и у обради сигнала.

Примери

Сваки полином се лако може изразити као степени ред код тачке c, мада му је већина коефицијената једнака нули. На пример, полином $f(x)=x^{2}+2x+3$ се може записати као степени ред око $c=0$ облика

$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,$

или око центра $c=1$ као

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,$

или око било ког другог центра c. Степени редови се могу посматрати као полиноми бесконачног реда, мада они нису полиноми.

Формула геометријског реда

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$

која важи за $|x|<1$, је једна од најважнијих примера степеног реда, као и формула експоненцијалне функције

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$

и синусна формула

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$

која важи за свако реално x. Ови степени редови су такође и примери Тејлорових редова. Међутим, постоје степени редови који нису Тејлорови редови ниједне функције, на пример

$\sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+x+2!x^{2}+3!x^{3}+\cdots .$

Негативни степени нису дозвољени у степеним редовима, на пример $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ се не сматра степеним редом (мада јесте Лоренов ред). Слично, разломљени степенови, као што је $x^{1/2}$ нису дозвољени (види Писеов ред). Коефицијенти $a_{n}$ не смеју да зависе од $x$, стога на пример:

$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,$ није степени ред.

Радијус конвергенције

Степени ред сигурно конвергира за неке вредности променљиве x (барем за x = c) а за остале може да дивергира. Увек постоји број r, 0 ≤ r ≤ ∞ такав да ред конвергира кад год је |x − c| < r и дивергира кад год |x − c| > r. Број r се назива радијус конвергенције (или стпен конвергенције) степеног реда; у општем случају, радијус конвергенције је одређен изразом

$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$

или, еквивалентно,

$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$

(види лимес супериор и лимес инфериор). Брз начин да се израчуна је

$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$

ако овај лимес постоји.

Ред конвергира апсолутно за x - c| < r и униформно на сваком непрекидном подскупу {x : |x − c| < r}.

За x - c| = r, се не може у општем случају рећи да ли ред конвергира или дивергира. Међутим, Абелова теорема каже да је сума реда непрекидна на x ако ред конвергира на x.

Операције са степеним редовима

Сабирање и одузимање

Када се две функције, f и g декомпонују у степени ред око истог центра c, степени ред збира или разлике функција се може наћи сабирањем или одузимањем члан по члан. То јест, ако:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}$

онда

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}$

Множење и дељење

Уз исте дефиниције као и горе, степени ред производа или количника функција се може добити на следећи начин:

$f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)$

$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.$

Низ $m_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ је познат као конволуција низова $a_{n}$ и $b_{n}$.

Приметимо, за дељење:

${f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$

$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$

а затим се користе горњи изрази, упоређујући коефицијенте.

Диференцирање и интеграција

Ако је функција дата као стпеени ред, она је непрекидна где год конвергира, и диференцијабилна је на унутрашњости овог скупа. Може се диференцирати или интегралити врло једноставно, члан по члан:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}$

$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+C$

Оба ова реда имају исти радијус конвергенције као и почетни.

Аналитичке функције

Функција f дефинисана на неком отвореном подскупу U од R или C се назива аналитичком ако је локално задата степеним редом. Ово значи да свако a ∈ U има отворену околину V ⊆ U, такву да постоји степени ред са центром a који конвергира функцији f(x) за свако x ∈ V.

Сваки степени ред са позитивним радијусом конвергенције је аналитички на унутрашњости своје области конвергенције. Све холоморфне функције су комплексно-аналитичке. Суме и производи аналитичких функција су аналитичке, као и количници, све док именилац није нула.

Формални степени редови

У апстрактној алгебри, покушава се да се извуче суштина степених редова, без ограничавања на поља реалних и комплексних бројева и без потребе да се говори о конвергенцији. Ово доводи до концепта формалног степеног реда. Овај концепт је од великог значаја у комбинаторици.

Степени редови више променљивих

Степени редови више променљивих су дефинисани на следећи начин

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},$

где је j = (j₁, ..., j_n) вектор природних бројева, коефицијенти a_(j1,...,jn) су обично реални или комплексни бројеви, а центар c = (c₁, ..., c_n) и аргумент x = (x₁, ..., x_n) су обично реални или комплексни вектори. Једноставнија нотација је

$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.$

Спољашње везе

• Формални степени редови на сајту MathWorld
• Степени редови на сајту MathWorld