Сферни хармоници у математици представљају угаони део решења Лапласове једначине у сферним координатама.
Сферне хармонике је први 1782 . увео Пјер Симон Лаплас , а облика су:
Y ℓ m ( θ , φ ) = ( 2 ℓ + 1 ) 4 π ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos θ ) e i m φ {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }} и решење су једначине:
1 sin θ d d θ ( sin θ d Y ℓ m d θ ) + ( l ( l + 1 ) − m 2 sin 2 θ ) Y ℓ m = 0 {\displaystyle {\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {dY_{\ell }^{m}}{d\theta }}\right)+(l(l+1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}})Y_{\ell }^{m}=0}
Лапласова једначина
уреди
Лапласова једначина у сферним координатама има облик:
∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.} Једначину решавамо сепарацијом варијабли претпостављајући решење облика:
f ( r , ϑ , φ ) = R ( r ) Y ( ϑ , φ ) {\displaystyle f(r,\vartheta ,\varphi )=R(r)Y(\vartheta ,\varphi )} Сепарацијом варијабли добија се:
Δ R ( r ) Y ( ϑ , φ ) = Y ( ϑ , φ ) Δ r R ( r ) + R ( r ) r 2 Δ ϑ , φ Y ( ϑ , φ ) = 0 {\displaystyle \Delta R(r)Y(\vartheta ,\varphi )=Y(\vartheta ,\varphi )\Delta _{r}R(r)+{\frac {R(r)}{r^{2}}}\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y(\vartheta ,\varphi )=0} Множећи са r 2 {\displaystyle r^{2}} и делећи са R ( r ) Y ( ϑ , φ ) {\displaystyle R(r)Y(\vartheta ,\varphi )} добија се:
r 2 Δ r R ( r ) R ( r ) + Δ ϑ , φ Y ( ϑ , φ ) Y ( ϑ , φ ) = 0 {\displaystyle {\frac {r^{2}\Delta _{r}R(r)}{R(r)}}+{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y(\vartheta ,\varphi )}{Y(\vartheta ,\varphi )}}=0} односно добијају се две једначине:
1 R d d r ( r 2 d R d r ) = λ , 1 Y 1 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ Y ∂ θ ) + 1 Y 1 sin 2 θ ∂ 2 Y ∂ φ 2 = − λ . {\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .} Угаона једначина
( ∂ 2 ∂ ϑ 2 + cos ϑ sin ϑ ∂ ∂ ϑ + 1 sin 2 ϑ ∂ 2 ∂ φ 2 ) Y ( ϑ , φ ) = − λ Y ( ϑ , φ ) {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y(\vartheta ,\varphi )=-\lambda Y(\vartheta ,\varphi )} може даље да се сепарира по две варијабле:
Y ( ϑ , φ ) = Θ ( ϑ ) Φ ( φ ) {\displaystyle Y(\vartheta ,\varphi )=\Theta (\vartheta )\Phi (\varphi )} Одатле се добија:
sin 2 ϑ Θ ( ϑ ) ( ∂ 2 ∂ ϑ 2 + cos ϑ sin ϑ ∂ ∂ ϑ ) Θ ( ϑ ) + sin 2 ( ϑ ) λ ) ⏟ m 2 = − 1 Φ ( φ ) ∂ 2 ∂ φ 2 Φ ( φ ) ⏟ m 2 {\displaystyle \underbrace {{\frac {\sin ^{2}\vartheta }{\Theta (\vartheta )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\right)\Theta (\vartheta )+\sin ^{2}(\vartheta )\lambda )} _{m^{2}}=\underbrace {-{\frac {1}{\Phi (\varphi )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\Phi (\varphi )} _{m^{2}}} тј. две једначине:
1 Φ ( φ ) d 2 Φ ( φ ) d φ 2 = − m 2 {\displaystyle {\frac {1}{\Phi (\varphi )}}{\frac {d^{2}\Phi (\varphi )}{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}} λ sin 2 ( θ ) + sin ( θ ) Θ ( θ ) d d θ [ sin ( θ ) d Θ d θ ] = m 2 {\displaystyle \lambda \sin ^{2}(\theta )+{\frac {\sin(\theta )}{\Theta (\theta )}}{\frac {d}{d\theta }}\left[\sin(\theta ){\frac {d\Theta }{d\theta }}\right]=m^{2}} Решење прве једначине је:
Φ m ( φ ) = A exp ( i m φ ) {\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )=A\exp(im\varphi )}
Да би друга једначина имала решење мора бити задовољено λ = l ( l + 1 ) {\displaystyle \lambda =l(l+1)} .
Коначно за угао θ {\displaystyle \theta } добија се једначина:
1 sin θ d d θ ( sin θ d Θ l m d θ ) − m 2 sin 2 θ Θ l m + l ( l + 1 ) Θ l m = 0 {\displaystyle {\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm}}{d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _{lm}=0} Уведемо ли супституцију x = cos ( θ ) {\displaystyle x=\cos(\theta )} добија се:
( 1 − x 2 ) Θ ″ − 2 x Θ ′ + ( ℓ [ ℓ + 1 ] − m 2 1 − x 2 ) Θ = 0 , {\displaystyle (1-x^{2})\,\Theta ''-2x\Theta '+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,\Theta =0,\,} <односно једначина чије решење су придружени Лежандрови полиноми P l m ( cos ϑ ) {\displaystyle P_{lm}(\cos \vartheta )} .
Сада треба да нормирамо та решења уз помоћ ∫ 0 π | Θ l m ( ϑ ) | 2 sin ( ϑ ) d ϑ = 1 {\displaystyle \int _{0}^{\pi }|\Theta _{lm}(\vartheta )|^{2}\sin(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta =1} па добијамо:
Θ l m ( ϑ ) = 2 l + 1 2 ⋅ ( l − m ) ! ( l + m ) ! P l m ( cos ϑ ) {\displaystyle \Theta _{lm}(\vartheta )={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}\,\,P_{lm}(\cos \vartheta )} Исто тако треба да се нормира и по другом углу ∫ 0 2 π | Φ m ( φ ) | 2 d φ = 1 {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|\Phi _{m}(\varphi )|^{2}\mathrm {d} \varphi =1} , па се добија:
Φ m ( φ ) = 1 2 π exp ( i m φ ) , m ∈ Z {\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(im\varphi ),\quad m\in \mathbb {Z} } .Заједничко угаоно решење је онда управо функција, коју називамо сферни хармоник:
Y ℓ m ( θ , φ ) = ( 2 ℓ + 1 ) 4 π ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos θ ) e i m φ {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }} Нека својства
уреди
Сферни хармоници су ортогонални:
∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ , {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},} .Задовољавају релацију потпуности:
∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l Y l m ∗ ( ϑ ′ , φ ′ ) Y l m ( ϑ , φ ) = δ ( φ − φ ′ ) δ ( cos ϑ − cos ϑ ′ ) {\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ')\,Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\delta (\varphi -\varphi ')\delta (\cos {\vartheta }-\cos {\vartheta '})} Осим тога у случају трансформација вреди:
Y l m ( π − ϑ , π + φ ) = ( − 1 ) l ⋅ Y l m ( ϑ , φ ) {\displaystyle Y_{lm}(\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )=(-1)^{l}\cdot Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
Y l , − m ( ϑ , φ ) = ( − 1 ) m ⋅ Y l m ∗ ( ϑ , φ ) {\displaystyle Y_{l,-m}(\vartheta ,\varphi )=(-1)^{m}\cdot Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )} Интеграл три сферна хармоника дат је преко 3-jm симбола :
∫ Y l 1 m 1 ( θ , φ ) Y l 2 m 2 ( θ , φ ) Y l 3 m 3 ( θ , φ ) sin θ d θ d φ = ( 2 l 1 + 1 ) ( 2 l 2 + 1 ) ( 2 l 3 + 1 ) 4 π ( l 1 l 2 l 3 0 0 0 ) ( l 1 l 2 l 3 m 1 m 2 m 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\[8pt]0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}} где су l 1 {\displaystyle l_{1}} , l 2 {\displaystyle l_{2}} and l 3 {\displaystyle l_{3}} цели бројеви.
Адициона теорема
уреди
Претпоставимо да су два јединична вектора x {\displaystyle \mathbf {x} } и x ′ {\displaystyle \mathbf {x} '} предстaвљена у сферним кординатама ( ϑ , φ ) {\displaystyle (\vartheta ,\,\varphi )} односно ( ϑ ′ , φ ′ ) {\displaystyle (\vartheta ',\,\varphi ')} . Угао између два вектора је онда:
cos γ = cos ϑ cos ϑ ′ + sin ϑ sin ϑ ′ cos ( φ − φ ′ ) . {\displaystyle \cos \gamma =\cos \vartheta \cos \vartheta '+\sin \vartheta \sin \vartheta '\cos(\varphi -\varphi ')\,.} Адиционa теоремa за сферне хармонике је:
P l ( cos γ ) = 4 π 2 l + 1 ∑ m = − l l Y l m ( ϑ , φ ) Y l m ∗ ( ϑ ′ , φ ′ ) . {\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ').} За случај када се ради о истом вектору добија се:
∑ m = − ℓ ℓ Y ℓ m ∗ ( θ , φ ) Y ℓ m ( θ , φ ) = 2 ℓ + 1 4 π {\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}} Развој по сферним хармоницима
уреди
Пошто сферни хармоници чине потпун скуп опртонормалних функција функције могу да се развију преко њих:
f ( θ , φ ) = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ f ℓ m Y ℓ m ( θ , φ ) . {\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).} а коефицијенти су:
f ℓ m = ∫ Ω f ( θ , φ ) Y ℓ m ∗ ( θ , φ ) d Ω = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π d θ sin θ f ( θ , φ ) Y ℓ m ∗ ( θ , φ ) . {\displaystyle f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).} Табела неких сферних хармоника
уреди
Првих неколико сферних хармоника
Ylm
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
m = -3
35 64 π sin 3 ϑ e − 3 i φ {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\vartheta }\,e^{-3i\varphi }}
m = −2
15 32 π sin 2 ϑ e − 2 i φ {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\,e^{-2i\varphi }}
105 32 π sin 2 ϑ cos ϑ e − 2 i φ {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\cos {\vartheta }\,e^{-2i\varphi }}
m = −1
3 8 π sin ϑ e − i φ {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,e^{-i\varphi }}
15 8 π sin ϑ cos ϑ e − i φ {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,\cos {\vartheta }\,e^{-i\varphi }}
21 64 π sin ϑ ( 5 cos 2 ϑ − 1 ) e − i φ {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\vartheta }\left(5\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)\,e^{-i\varphi }}
m = 0
1 4 π {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\pi }}}}
3 4 π cos ϑ {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\pi }}}\cos {\vartheta }}
5 16 π ( 3 cos 2 ϑ − 1 ) {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)}
7 16 π ( 5 cos 3 ϑ − 3 cos ϑ ) {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\vartheta }-3\cos {\vartheta }\right)}
m = 1
− 3 8 π sin ϑ e i φ {\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,e^{i\varphi }}
− 15 8 π sin ϑ cos ϑ e i φ {\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,\cos {\vartheta }\,e^{i\varphi }}
− 21 64 π sin ϑ ( 5 cos 2 ϑ − 1 ) e i φ {\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\vartheta }\left(5\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)\,e^{i\varphi }}
m = 2
15 32 π sin 2 ϑ e 2 i φ {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\,e^{2i\varphi }}
105 32 π sin 2 ϑ cos ϑ e 2 i φ {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\cos {\vartheta }\,e^{2i\varphi }}
m = 3
− 35 64 π sin 3 ϑ e 3 i φ {\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\vartheta }\,e^{3i\varphi }}
Литература
уреди
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0 .
Сферни хармоници
Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume I , Wiley-Interscience .
Edmonds, A.R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics . Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9 .
Eremenko, Alexandre; Jakobson, Dmitry; Nadirashvili, Nikolai (2007), „On nodal sets and nodal domains on S 2 {\displaystyle S^{2}} and R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ”, Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345—2360, ISSN 0373-0956 , MR 2394544
MacRobert, T.M. (1967), Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications , Pergamon Press .
Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004). Group theory: The application to quantum mechanics . Dover. ISBN 978-0-486-43798-9 . .
Solomentsev, E.D. (2001). „Spherical harmonics”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics . Springer. ISBN 978-1556080104 . .
Stein, Elias; Weiss, Guido (1971). Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces . Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9 . .
Unsöld, Albrecht (1927), „Beiträge zur Quantenmechanik der Atome”, Annalen der Physik , 387 (3): 355—393, Bibcode :1927AnP...387..355U , doi :10.1002/andp.19273870304 .
Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1927), A Course of Modern Analysis , Cambridge University Press, стр. 392 .
E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics , (1955) Chelsea Pub. Co. ISBN 978-0-8284-0104-3 .
C. Müller, Spherical Harmonics , (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17. ISBN 978-3-540-03600-5 .
E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra , (1970) Cambridge at the University Press, ISBN 0-521-09209-4 , See chapter 3 .
J.D. Jackson, Classical Electrodynamics , ISBN 0-471-30932-X
Albert Messiah, Quantum Mechanics , volume II. (2000) Dover. ISBN 0-486-40924-4 .
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Section 6.7. Spherical Harmonics” . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 .
D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum ,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, ISBN 9971-5-0107-4