Дефиниције
уреди
Сл.1. Тригонометријски троугао Основне тригонометријске функције синус, косинус и тангенс се обично дефинишу помоћу правоуглог троугла , слика десно.
x = r ⋅ cos ϕ , y = r ⋅ sin ϕ , y x = tg ϕ . {\displaystyle x=r\cdot \cos \phi ,\;y=r\cdot \sin \phi ,\;{\frac {y}{x}}=\operatorname {tg} \phi .} Позитиван математички угао има супротан смер од казаљке на сату, слично као и кретање Сунца у односу на сунчеву сенку на слици 2.
Тригонометријска кружница
уреди
На слици (3) доле је кружница полупречника један са центром у исходишту, тј. x 2 + y 2 = 1 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,} која се зове тригонометријска кружница .
У следећој дефиницији и теореми (1), тангенс и котангенс (б) се у англосаксонским земљама означавају tan и cot, косеканс (в) се и код нас означава cosec.
Сл.3. Тригонометријска кружница Дефиниција 1
Тригонометријске реалне функције угла φ дефинишу се једнакостима
(а) cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 , {\displaystyle \cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1,\,} синус и косинус су реални бројеви ;
(б) tg ϕ = sin ϕ cos ϕ , ctg ϕ = cos ϕ sin ϕ , {\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }},\;\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }},} тангенс и котангенс ;
(в) sec ϕ = 1 cos ϕ , csc ϕ = 1 sin ϕ , {\displaystyle \sec \phi ={\frac {1}{\cos \phi }},\;\csc \phi ={\frac {1}{\sin \phi }},} секанс и косеканс .
(г) vercos ϕ = 1 − sin ϕ , versin = 1 − cos ϕ , {\displaystyle \operatorname {vercos} \phi =1-\sin \phi ,\;\operatorname {versin} =1-\cos \phi ,} косинус версус и синус версус .Функције (в), а нарочито (г) ретко срећемо.
Теорема 1 (а) O A ¯ = cos ϕ , O C ¯ = sin ϕ , {\displaystyle {\overline {OA}}=\cos \phi ,\;{\overline {OC}}=\sin \phi ,} косинус и синус;
(б) B E ¯ = tg ϕ , F G ¯ = ctg ϕ , {\displaystyle {\overline {BE}}=\operatorname {tg} \phi ,\;{\overline {FG}}=\operatorname {ctg} \phi ,} тангенс и котангенс;
(в) O E ¯ = sec ϕ , O G ¯ = csc ϕ , {\displaystyle {\overline {OE}}=\sec \phi ,\;{\overline {OG}}=\csc \phi ,} секанс и косеканс.Доказ
Тачка Т са слике 1. овде (сл.2.) је тачка D.
(а) Следи непосредно због полупречника r = 1.
(б) Уочимо сличне троуглове Δ E B O ∼ Δ D A O , {\displaystyle \Delta EBO\sim \Delta DAO,} одакле B E ¯ : O B ¯ = A D ¯ : O A ¯ , {\displaystyle {\overline {BE}}:{\overline {OB}}={\overline {AD}}:{\overline {OA}},} тј. B E ¯ : 1 = sin ϕ : cos ϕ ; {\displaystyle {\overline {BE}}:1=\sin \phi :\cos \phi ;} уочимо сличне троуглове Δ G F O ∼ Δ O A D , {\displaystyle \Delta GFO\sim \Delta OAD,} одатле F G ¯ : F O ¯ = O A ¯ : A D ¯ , {\displaystyle {\overline {FG}}:{\overline {FO}}={\overline {OA}}:{\overline {AD}},} тј. F G ¯ : 1 = cos ϕ : sin ϕ . {\displaystyle {\overline {FG}}:1=\cos \phi :\sin \phi .}
(в) Из истих сличних троуглова (б) добијамо O E ¯ : O B ¯ = O D ¯ : O A ¯ , {\displaystyle {\overline {OE}}:{\overline {OB}}={\overline {OD}}:{\overline {OA}},} тј. O E ¯ : 1 = 1 : cos ϕ ; {\displaystyle {\overline {OE}}:1=1:\cos \phi ;} затим O G ¯ : O F ¯ = O D ¯ : A D ¯ , {\displaystyle {\overline {OG}}:{\overline {OF}}={\overline {OD}}:{\overline {AD}},} тј. O G ¯ : 1 = 1 : sin ϕ . {\displaystyle {\overline {OG}}:1=1:\sin \phi .} Крај доказа.
Посебни углови
уреди
Овде ће бити анализиране особине вредности тригонометријских функција за посебне углове.
На претходној слици (3) представљен је Декартов правоугли систем координата и тачка D на тригонометријској кружници. Угао BOD = φ може неограничено расти док покретни крак угла (OD) пролази редом кроз први, други, трећи и четврти квадрант , а затим поново по истом кругу . Дакле, угао φ може расти до 360° и даље. При томе се пројекције тачке D на апсцису и ординату увек рачунају као косинус и синус угла φ. То значи да је косинус позитиван када је тачка D у првом и четвртом квадранту, а да је синус позитиван када је тачка D у првом и другом квадранту. Детаљно то видимо у следећој табели:
Тригонометријске функције по квадрантима
Квадрант
1. (0°-90°)
2. (90°-180°)
3. (180°-270°)
4. (270°-360°)
синус
+
+
-
-
косинус
+
-
-
+
тангенс
+
-
+
-
Свођење на први квадрант
уреди
Лако је преко тригонометријске кружнице или адиционих формула проверити тачност формула за свођење вредности тригонометријских функција на функције углова из првог квадранта:
cos ( 180 o − ϕ ) = − cos ϕ , sin ( 180 o − ϕ ) = sin ϕ , {\displaystyle \cos(180^{o}-\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}-\phi )=\sin \phi ,}
cos ( 180 o + ϕ ) = − cos ϕ , sin ( 180 o + ϕ ) = − sin ϕ , {\displaystyle \cos(180^{o}+\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}+\phi )=-\sin \phi ,}
cos ( − ϕ ) = cos ϕ , sin ( − ϕ ) = − sin ϕ . {\displaystyle \cos(-\phi )=\cos \phi ,\;\sin(-\phi )=-\sin \phi .} Функције косинус и синус су периодичне са основним периодом 360°, a функција тангенс је периодична са периодом 180°:
cos ( 360 o + ϕ ) = cos ϕ , sin ( 360 o + ϕ ) = sin ϕ , tg ( 180 o + ϕ ) = tg ϕ . {\displaystyle \cos(360^{o}+\phi )=\cos \phi ,\;\sin(360^{o}+\phi )=\sin \phi ,\;\operatorname {tg} (180^{o}+\phi )=\operatorname {tg} \phi .} Период синусне и косинусне функције може се наћи из формуле:
T = 2 π ω {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}
Тако је период функције sin 2 α {\displaystyle \sin {2\alpha }} једнак T = 2 π 2 {\displaystyle T={\frac {2\pi }{2}}} , односно π {\displaystyle \pi } .
Функције углове већих од 360 степени претходним формулама се своде на функције мањих углова, а затим даље, ако је потребно, на први квадрант, на начин видљив у следећој табели:
β {\displaystyle \beta \,}
π 2 + α {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }
π + α {\displaystyle \pi +\alpha \,}
3 π 2 + α {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha }
π 2 − α {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }
π − α {\displaystyle \pi -\alpha \,}
3 π 2 − α {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha }
2 π − α {\displaystyle 2\,\pi -\alpha }
sin β {\displaystyle \sin \beta \,}
cos α {\displaystyle \cos \alpha \,}
− sin α {\displaystyle -\sin \alpha \,}
− cos α {\displaystyle -\cos \alpha \,}
cos α {\displaystyle \cos \alpha \,}
sin α {\displaystyle \sin \alpha \,}
− cos α {\displaystyle -\cos \alpha \,}
− sin α {\displaystyle -\sin \alpha \,}
cos β {\displaystyle \cos \beta \,}
− sin α {\displaystyle -\sin \alpha \,}
− cos α {\displaystyle -\cos \alpha \,}
sin α {\displaystyle \sin \alpha \,}
sin α {\displaystyle \sin \alpha \,}
− cos α {\displaystyle -\cos \alpha \,}
− sin α {\displaystyle -\sin \alpha \,}
cos α {\displaystyle \cos \alpha \,}
tg β {\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta }
− ctg α {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
− ctg α {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
− tg α {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
ctg β {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta }
− tg α {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
− tg α {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
− ctg α {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
У општем случају то се може записати овако:
f ( n π + α ) = ± f ( α ) {\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha )}
f ( n π − α ) = ± f ( α ) {\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha )}
f ( ( 2 n + 1 ) π 2 + α ) = ± g ( α ) {\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha )}
f ( ( 2 n + 1 ) π 2 − α ) = ± g ( α ) {\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha )} Притом је f — произвољна тригонометријска функција, g — одговарајућа јој функција (косинус за синуса, синус за косинус и аналогно за остале функције), а n — цео број .
Вредности тригонометријских функција
уреди
Вредности тригонометријских функција приказане на тригонометријској кружници За неке од углова из првог квадранта се функције лакше израчунавају:
Најчешће вредности тригонометријских функција
ϕ {\displaystyle \phi \,}
0°
30°
45°
60°
90°
sin ϕ {\displaystyle \sin \phi \,}
0
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
1
cos ϕ {\displaystyle \cos \phi \,}
1
3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
0
tg ϕ {\displaystyle \operatorname {tg} \phi }
0
3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
1
3 {\displaystyle {\sqrt {3}}}
± ∞ {\displaystyle \pm \infty }
Један од начина израчунавања ових вредности је приказан у прегледу основних углова . Из табеле се види да су већ код „основних“ углова тригонометријске функције ирационални бројеви и да би слични изрази за друге углове могли бити још сложенији. Једноставнији од тих сложенијих израза био би, на пример sin 15 o = 3 − 1 2 2 , {\displaystyle \sin 15^{o}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}},} и то је најмањи угао чији се синус може представити писањем просте алгебарске комбинације рационалних бројева и коренова. Вековима су тригонометријске вредности записиване у тригонометријске таблице , на 5 до 10 децимала , a у последње време користи се скоро искључиво рачунар или калкулатор .
Вредности тригонометријских функција неких углова које се нешто дужим путем израчунавају дати су у следећој табели:
α {\displaystyle \alpha \,}
π 12 = 15 ∘ {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }}
π 10 = 18 ∘ {\displaystyle {\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }}
π 8 = 22.5 ∘ {\displaystyle {\frac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }}
π 5 = 36 ∘ {\displaystyle {\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }}
3 π 10 = 54 ∘ {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }}
3 π 8 = 67.5 ∘ {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{8}}=67.5^{\circ }}
2 π 5 = 72 ∘ {\displaystyle {\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }}
sin α {\displaystyle \sin \alpha \,}
3 − 1 2 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
5 − 5 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
5 + 5 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
cos α {\displaystyle \cos \alpha \,}
3 + 1 2 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5 + 5 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
5 − 5 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
1 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
2 − 1 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}
5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}
1 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
2 + 1 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}
5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}
ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}
2 + 1 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}
1 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}
2 − 1 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}
1 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
Када тачка D једном обиђе кружницу пређе пут 2π односно направи 360°. Лук дужине π одговара углу 180° - испружени угао, π/2 је 90° - прави угао, π/3 је 60°, π/4 је 45°, π/6 је 30°, и уопште лук дужине x радијана одговара углу 360x /2π степени. За један радијан , х = 1, добија се угао 57,2957795... степени , тј. у степенима, минутима и секундама 57°17'44,8". Један степен има 60 минута, а једна минута има 60 секунди. Изрази минуте и секунде потичу од латинских речи: partes minutae primae и partes minutae secundae , тј. први мали делови и други мали делови. Математички текстови за јединицу угла подразумевају радијан.
Тригонометријске функције се, такође, могу представљати (бесконачним) редовима :
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + . . . = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + . . . == ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...==\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}} Ови редови се могу употребити и за дефинисање тригонометријских функција комплексног броја z, и хиперболичких функција .
Имајући у виду једнакости tg x = sin x cos x , {\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},} ctg x = cos x sin x , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},} sec x = 1 cos x {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}} и cosec x = 1 sin x , {\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},} у Тејлоров ред се могу разложити следеће функције:
tg x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + 62 2835 x 9 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ( − π 2 < x < π 2 ) , {\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}
ctg x = 1 x − x 3 − x 3 45 − 2 x 5 945 − x 7 4725 − ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ( − π < x < π ) , {\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}
sec x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + 277 8064 x 8 + ⋯ = 1 + ∑ n = 1 ∞ E n ( 2 n ) ! x 2 n , ( − π 2 < x < π 2 ) , {\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}
csc x = 1 x + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 + 127 604800 x 7 + ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ( − π < x < π ) , {\displaystyle {\csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}
Тригонометријске функције се могу графички представити. На следећим сликама су приказани њихови графици:
Графици тригонометријских функција: синуса , косинуса , тангенса , секанса , косеканса , котангенса
Косинус и секанс су парне функције , док су преостале четири непарне функције :
sin ( − α ) = − sin α , {\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,}
cos ( − α ) = cos α , {\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,}
t g ( − α ) = − t g α , {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,}
c t g ( − α ) = − c t g α , {\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,}
sec ( − α ) = sec α , {\displaystyle \sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,}
c o s e c ( − α ) = − c o s e c α . {\displaystyle \mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.} Гранична вредност
уреди
Сл.4. Тетива је краћа од лука На слици (4) лево видимо тетиву D A H ¯ {\displaystyle {\overline {DAH}}} која је сигурно краћа од лука D B H ^ . {\displaystyle {\widehat {DBH}}.} Тетива је најкраће растојање између две тачке на кружници . Зато је полутетива D A ¯ {\displaystyle {\overline {DA}}} краћа од полулука D B ^ . {\displaystyle {\widehat {DB}}.} Троугао OAD, са оштрим углом φ је правоугли . Прави угао је у темену А, катета ОА износи cos ϕ {\displaystyle \cos \phi } , катета DA износи sin ϕ {\displaystyle \sin \phi } , хипотенуза је дужине један. Када је угао у радијанима и 0 < ϕ < π 2 , {\displaystyle 0<\phi <{\frac {\pi }{2}},} тада је
Теорема 1
lim ϕ → 0 sin ϕ = 0 , lim ϕ → 0 cos ϕ = 1. {\displaystyle \lim _{\phi \to 0}\sin \phi =0,\;\lim _{\phi \to 0}\cos \phi =1.} Доказ : Следи из 0 < sin ϕ < D B ^ = ϕ {\displaystyle 0<\sin \phi <{\widehat {DB}}=\phi } и 0 < 1 − cos ϕ < A B ¯ < D B ¯ < D B ^ = ϕ . {\displaystyle 0<1-\cos \phi <{\overline {AB}}<{\overline {DB}}<{\widehat {DB}}=\phi .} Крај.
Када угао тежи нули преко позитивних вредности, синус је тада позитиван, а негативан је када угао тежи нули преко негативних вредности. Напротив, косинус је у оба случаја позитиван. Из тога произилазе лимеси за котангенс : lim x → + 0 ctg x = + ∞ , lim x → − 0 ctg x = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to +0}\operatorname {ctg} x=+\infty ,\;\lim _{x\to -0}\operatorname {ctg} x=-\infty .} Заменом х са комплементним углом добићете одговарајуће лимесе за тангенс .
Сл.5. Тригонометријски круг Теорема 2
lim x → 0 sin x x = 1. {\displaystyle \lim _{x\to \ 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.} Доказ
На слици (5) десно, површина правоуглог троугла OAD мања је од површине кружног исечка OBD, а ова опет мања од површине правоуглог троугла OBE. Назовимо са х угао BOE. Отуда sin x cos x 2 < x 2 < tg x 2 . {\displaystyle {\frac {\sin x\cos x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}.} Поделимо ли ове неједнакости са (позитивним) sin x 2 , {\displaystyle {\frac {\sin x}{2}},} добићемо cos x < x sin x < 1 cos x , {\displaystyle \cos x<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},} а отуда 1 cos x > sin x x > cos x . {\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}>{\frac {\sin x}{x}}>\cos x.} Са x → 0 {\displaystyle x\to 0} вреди cos x → 1 , 1 cos x → 1 , {\displaystyle \cos x\to 1,\;{\frac {1}{\cos x}}\to 1,} па је sin x x → 1. {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\to 1.} Синус је парна функција па је доказ за негативне углове исти. Крај доказа.
Извод функције f(x) по дефиницији је гранична вредност : f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x . {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}
Теорема 3
(а) ( sin x ) ′ = cos x , {\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,}
(б) ( cos x ) ′ = − sin x , {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\,}
(в) ( tg x ) ′ = sec 2 x . {\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x.\,}
(г) ( ctg x ) ′ = − csc 2 x . {\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-\csc ^{2}x.\,} Доказ
(а) Δ sin x = sin ( x + Δ x ) − sin x = 2 cos ( x + Δ x 2 ) sin Δ x 2 , {\displaystyle \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin {\frac {\Delta x}{2}},} па је
Δ sin x Δ x = cos ( x + Δ x 2 ) Δ x 2 → cos x , {\displaystyle {\frac {\Delta \sin x}{\Delta x}}={\frac {\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}\rightarrow \cos x,} када Δ x → 0 {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0} (теорема 2).
(б) Због cos x = sin ( π 2 − x ) , {\displaystyle \cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x),} биће ( cos x ) ′ = cos ( π 2 − x ) ⋅ ( π 2 − x ) ′ = − cos ( π 2 − x ) = − sin x . {\displaystyle (\cos x)'=\cos({\frac {\pi }{2}}-x)\cdot ({\frac {\pi }{2}}-x)'=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x.}
(в) Извод количника ( tg x ) ′ = ( sin x cos x ) ′ = {\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'=}
= sin ′ x cos x − cos ′ x sin x cos 2 x = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x = sec 2 x . {\displaystyle ={\frac {\sin 'x\cos x-\cos 'x\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.}
(г) Извод количника ( ctg x ) ′ = ( cos x sin x ) ′ = {\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=\left({\frac {\cos x}{\sin x}}\right)'=}
= cos ′ x sin x − sin ′ x cos x sin 2 x = − sin 2 x − cos 2 x sin 2 x = − 1 sin 2 x = − csc 2 x . {\displaystyle ={\frac {\cos 'x\sin x-\sin 'x\cos x}{\sin ^{2}x}}={\frac {-\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x.} Крај доказа 3. Интеграли тригонометријских функција
уреди
Интеграли неких тригонометријских функција приказани су овде:
f ( x ) {\displaystyle \ \ \ \ f(x)}
f ′ ( x ) {\displaystyle \ \ \ \ f'(x)}
∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\,dx}
sin x {\displaystyle \,\ \sin x}
cos x {\displaystyle \,\ \cos x}
− cos x + C {\displaystyle \,\ -\cos x+C}
cos x {\displaystyle \,\ \cos x}
− sin x {\displaystyle \,\ -\sin x}
sin x + C {\displaystyle \,\ \sin x+C}
tan x {\displaystyle \,\ \tan x}
sec 2 x = 1 + tan 2 x {\displaystyle \,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x}
− ln | cos x | + C {\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}
cot x {\displaystyle \,\ \cot x}
− csc 2 x = − ( 1 + cot 2 x ) {\displaystyle \,\ -\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)}
ln | sin x | + C {\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}
sec x {\displaystyle \,\ \sec x}
sec x tan x {\displaystyle \,\ \sec x\tan x}
ln | sec x + tan x | + C {\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}
csc x {\displaystyle \,\ \csc x}
− csc x cot x {\displaystyle \,\ -\csc x\cot x}
− ln | csc x + cot x | + C {\displaystyle \ -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C}
Друге особине
уреди
Преглед скоро свих особина тригонометријских функција које се тичу решавања троуглова дат је у прилогу: равнинска тригонометрија .
У посебном прилогу могу се пронаћи докази за адиционе формуле , где спадају и формуле за двоструке углове , затим половине углова , те представљање збира и разлике тригонометријских функција помоћу производа и обратно, и изражавање осталих тригонометријских функција помоћу тангенса половине угла.
Такође, у посебном прилогу се налазе тригонометријске једначине .
Тригонометријске функције као решења диференцијалних једначина
уреди
Тригонометријске функције као решења функционалних једначина
уреди
Функције косинус и синус се могу одредити као непрекидна решења система функционалних једначина :
{ f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) − g ( x ) g ( y ) g ( x + y ) = g ( x ) f ( y ) + f ( x ) g ( y ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.}
Инверзне тригонометријске функције
уреди
Инверзне тригонометријске функције су arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус ), arctg x (аркус тангенс ), arcctg x (аркус котангенс ). Оне су инверзне тригонометријским функцијама sin x (синус икс), cos x (косинус ), tg x (тангенс ), ctg x (котангенс ). Префикс аркус потиче од латинске речи arcus - лук, угао. Називају се још и циклометријским функцијама.
za − π 2 ≤ y ≤ π 2 , y = arcsin x ako x = sin y ; za 0 ≤ y ≤ π , y = arccos x ako x = cos y ; za − π 2 < y < π 2 , y = arctan x ako x = tan y ; za − π 2 ≤ y ≤ π 2 , y ≠ 0 , y = arccsc x ako x = csc y ; za 0 ≤ y ≤ π , y ≠ π 2 , y = arcsec x ako x = sec y ; za 0 < y < π , y = arccot x ako x = cot y . {\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin x&{\mbox{ako}}&x=\sin y\,;\\\\{\mbox{za}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\mbox{ako}}&x=\cos y\,;\\\\{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},&y=\arctan x&{\mbox{ako}}&x=\tan y\,;\\\\{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0,&y=\operatorname {arccsc} x&{\mbox{ako}}&x=\csc y\,;\\\\{\mbox{za}}&0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}},&y=\operatorname {arcsec} x&{\mbox{ako}}&x=\sec y\,;\\\\{\mbox{za}}&0<y<\pi ,&y=\operatorname {arccot} x&{\mbox{ako}}&x=\cot y\,.\end{matrix}}} Примена у физици
уреди
Примена тригонометрије и тригонометријских функција у физици је јако велика.
Тако се на пример прилично користе у анализи простирања таласа, описивању хармонијских осцилација као периодичног кретања, представљања наизменичне струје итд.