Чебишевљеви полиноми

Чебишевљеви полиноми су ортогонални полиноми и . Чебишевљеви полиноми првога реда представљају решења диференцијалне једначине:

Чебишевљеви полиноми другога реда представљају решења диференцијалне једначине:

Те диференцијалне једначине су Штурм-Лијувиловога облика. Полиноми су добили назив у част рускога математичара Пафнутија Чебишева.

Чебишевљеви полиноми првога реда, T_1 је означен црвеном, T_2 плавом, T_3 зеленом и T_4 окер бојом

Дефиниција полинома првога реда уреди

Полиноми првога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:

 

Најчешћа генерирајућа функција Чебишевљевих полинома је:

 

Постоје још две друге генерирајуће функције:

 

и

 

Дефиниција полинома другога реда уреди

Полиноми другога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:

 

Генерирајућа функција је дана са:

 

Ортогоналност уреди

Чебишевљеви полиноми првога и другога реда представљају ортогоналне полиноме. Полиноми првога реда ортогонални су са тежинском функцијом   на интервалу (−1,1), па је релација ортогоналности:

 

Полиноми другога реда су ортогонални са тежинским фактором   па је релација ортогоналности:

 

Везе између полинома првога и другога реда уреди

 
 
 
 
 , за непарни n.
 , за парни n.

Тригонометријска дефиниција уреди

Чебишевљеви полиноми првога реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:

 

где је:

 

Чебишевљеви полиноми другога реда реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:

 

Разне једначине и релације уреди

Чебишевљеви полиноми могу да се дефинишу и као решења Пелове једначине:

 

Релација рекурзије за изводе Чебишевљивих полинома је:

 

Туранове неједначине за Чебишевљеве полиноме су облика:

  и
 
 
Чебишевљеви полиноми другога реда

Примери уреди

Неколико првих Чебишевљевих полинома првога реда:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Неколико првих Чебишевљевих полинома другога реда:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература уреди