Чебишевљеви полиноми су ортогонални полиноми T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} и U n ( x ) {\displaystyle U_{n}(x)} . Чебишевљеви полиноми првога реда T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} представљају решења диференцијалне једначине:
( 1 − x 2 ) y ″ − x y ′ + n 2 y = 0. {\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0.\,\!} Чебишевљеви полиноми другога реда U n ( x ) {\displaystyle U_{n}(x)} представљају решења диференцијалне једначине:
( 1 − x 2 ) y ″ − 3 x y ′ + n ( n + 2 ) y = 0. {\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0.\,\!} Те диференцијалне једначине су Штурм-Лијувиловога облика. Полиноми су добили назив у част рускога математичара Пафнутија Чебишева .
Чебишевљеви полиноми првога реда, T_1 је означен црвеном, T_2 плавом, T_3 зеленом и T_4 окер бојом
Дефиниција полинома првога реда
уреди
Полиноми првога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:
T 0 ( x ) = 1 T 1 ( x ) = x T n + 1 ( x ) = 2 x T n ( x ) − T n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}} Најчешћа генерирајућа функција Чебишевљевих полинома је:
∑ n = 0 ∞ T n ( x ) t n = 1 − t x 1 − 2 t x + t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!} Постоје још две друге генерирајуће функције:
∑ n = 0 ∞ T n ( x ) t n n ! = 1 2 ( e ( x − x 2 − 1 ) t + e ( x + x 2 − 1 ) t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={1 \over 2}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!} и
∑ n = 0 ∞ T n ( x ) t n n = ln e 1 − 2 t x + t 2 . {\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }T_{n}\left(x\right){\frac {t^{n}}{n}}=\ln {\frac {e}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}.} Дефиниција полинома другога реда
уреди
Полиноми другога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:
U 0 ( x ) = 1 U 1 ( x ) = 2 x U n + 1 ( x ) = 2 x U n ( x ) − U n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}} Генерирајућа функција је дана са:
∑ n = 0 ∞ U n ( x ) t n = 1 1 − 2 t x + t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!} Ортогоналност
уреди
Везе између полинома првога и другога реда
уреди
d d x T n ( x ) = n U n − 1 ( x ) , n = 1 , … {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots } T n ( x ) = 1 2 ( U n ( x ) − U n − 2 ( x ) ) . {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).} T n + 1 ( x ) = x T n ( x ) − ( 1 − x 2 ) U n − 1 ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,} T n ( x ) = U n ( x ) − x U n − 1 ( x ) , {\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x),} U n ( x ) = 2 ∑ j odd n T j ( x ) {\displaystyle U_{n}(x)=2\sum _{j\,\,{\text{odd}}}^{n}T_{j}(x)} , за непарни n.U n ( x ) = 2 ∑ j even n T j ( x ) − 1 {\displaystyle U_{n}(x)=2\sum _{j\,{\text{even}}}^{n}T_{j}(x)-1} , за парни n. Тригонометријска дефиниција
уреди
Чебишевљеви полиноми првога реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:
T n ( x ) = cos ( n arccos x ) = cosh ( n a r c c o s h x ) {\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!} где је:
T n ( cos ( ϑ ) ) = cos ( n ϑ ) {\displaystyle T_{n}(\cos(\vartheta ))=\cos(n\vartheta )\,\!} Чебишевљеви полиноми другога реда реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:
U n ( cos ( ϑ ) ) = sin ( ( n + 1 ) ϑ ) sin ϑ , {\displaystyle U_{n}(\cos(\vartheta ))={\frac {\sin((n+1)\vartheta )}{\sin \vartheta }}\,,} Разне једначине и релације
уреди
Неколико првих Чебишевљевих полинома првога реда:
T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1\,}
T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x\,}
T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 {\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,}
T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x {\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,}
T 4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 {\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,}
T 5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x {\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,}
T 6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1 {\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,}
T 7 ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x {\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,}
T 8 ( x ) = 128 x 8 − 256 x 6 + 160 x 4 − 32 x 2 + 1 {\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,}
T 9 ( x ) = 256 x 9 − 576 x 7 + 432 x 5 − 120 x 3 + 9 x {\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\,} Неколико првих Чебишевљевих полинома другога реда:
U 0 ( x ) = 1 {\displaystyle U_{0}(x)=1\,}
U 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle U_{1}(x)=2x\,}
U 2 ( x ) = 4 x 2 − 1 {\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\,}
U 3 ( x ) = 8 x 3 − 4 x {\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,}
U 4 ( x ) = 16 x 4 − 12 x 2 + 1 {\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,}
U 5 ( x ) = 32 x 5 − 32 x 3 + 6 x {\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,}
U 6 ( x ) = 64 x 6 − 80 x 4 + 24 x 2 − 1 {\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\,}
U 7 ( x ) = 128 x 7 − 192 x 5 + 80 x 3 − 8 x {\displaystyle U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\,}
U 8 ( x ) = 256 x 8 − 448 x 6 + 240 x 4 − 40 x 2 + 1 {\displaystyle U_{8}(x)=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\,}
U 9 ( x ) = 512 x 9 − 1024 x 7 + 672 x 5 − 160 x 3 + 10 x {\displaystyle U_{9}(x)=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\,} Литература
уреди