Болцано-Вајерштрасова теорема

Болцано-Вајерштрасова теорема за скуповеУреди

ДефиницијаУреди

  • Сваки бесконачан скуп у   има бар једну тачку нагомилавања у  

ДоказУреди

  • Нека је скуп   бесконачан и ограничен. Пошто је ограничен, значи да   за неки одсечак   Поделимо дати одсечак на два дела, тачком   Пошто је скуп   бесконачан, у бар једном од одсечака   и   ће се наћи бесконачно много чланова скупа  . Означимо тај одсечак са   Понављајући тај поступак, добијамо одсечке  ,  , ..., тј. бесконачни низ уметнутих одсечака   од којих сваки од ових одсечака садржи бесконачно много елемената скупа  

Из Канторовог принципа уметнутих одсечака, бесконачан низ уметнутих одсечака има непразан пресек, а тај пресек је нека тачка која ће припадати свим одсечцима.

Означимо са   тачку која ће припадати свим одсечцима  

Како Важи:

  (из аксиоме непрекидности према Архимедовом својству)

што значи да ће за свако произвољно одабрано   постојати довољно велико   тако да ће се сви одсечци почев од   налазити у околини  тачке   а како сваки од тих одсечака има бесконачно много чланова, то се према дефиницији тачке нагомилавања скупа, закључује да је тачка   тачка нагомилавања скупа  , што је и требало показати.

  • Ако је скуп   ограничен, доказ о постојању његове тачке нагомилавања је управо изведен.

Ако је скуп   неограничен, то се из дефиниције тачака   и   закључује да је онда једна од њих тачка нагомилавања скупа   Тиме је доказ завршен.

Види јошУреди

ЛитератураУреди

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.