Векторска анализа

Векторска анализа је грана математике која проучава диференцијални и интегрални рачун над векторским пољима, primarily in 3-dimensional Euclidean space The term "vector calculus" is sometimes used as a synonym for the broader subject of multivariable calculus, which spans vector calculus as well as partial differentiation and multiple integration.

Највећу примену у математици налази у диференцијалној геометрији и парцијалним диференцијалним једначинама, а од осталих грана науке, највише се користи у физици, посебно у електродинамици, механици флуида, гравитацији и сл.

Основни објектиУреди

Скаларна пољаУреди

Детаљније: Скаларна поља

Скаларно поље придружује скаларну вредност свакој тачки у простору. Скалар је математички број који представља физичку величину. Примери скаларних поља у апликацијама укључују дистрибуцију температуре у простору, расподелу притиска у флуиду и квантна поља са спином нула (позната као скаларни бозони), као што је Хигсово поље. Ова поља су предмет теорије скаларног поља.

Векторска пољаУреди

Детаљније: Векторско поље

Векторско поље је додељивање вектора свакој тачки у простору.[1] Векторско поље у равни, на пример, може се визуализовати као колекција стрелица са датом величином и смером, свака везана за тачку у равни. Векторска поља се често користе за моделовање, на пример, брзине и правца флуида који се креће кроз простор, или јачине и смера неке силе, као што је магнетна или гравитациона сила, како се мења од тачке до тачке. Ово се може користити, на пример, за израчунавање рада обављеног дуж линије.

Вектори и псеувекториУреди

У напреднијим третманима, даље се разликују псеудовекторска поља и псеудоскаларна поља, која су идентична векторским пољима и скаларним пољима, осим што мењају предзнак под мапом која мења оријентацију: на пример, ротор векторског поља је псеудовекторско поље, а ако се одражава векторско поље, ротор је усмерен у супротном смеру. Ова разлика је разјашњена и разрађена у геометријској алгебри, као што је описано у наставку.

Векторска алгебраУреди

Алгебарске (недиференцијалне) операције у векторском рачуну називају се векторском алгебром, дефинишу се за векторски простор и затим се глобално примењују на векторско поље. Основне алгебарске операције се састоје од:[2]

Нотације у векторском рачуну
Операција Нотација Опис
Сабирање вектора   Сабирање два вектора, дајући вектор.
Множење вектора   Множење скалара и вектора, дајући вектор.
Скаларни производ вектора   Множење два вектора, дајући скалар.
Векторски производ   Множењем два вектора у   добија се (псеудо)вектор.

Такође се често користе два трострука производа:

Троструки производи векторског рачуна
Операција Нотација Опис
Скаларни троструки производ   Скаларни производ векторског производа два вектора.
Векторски троструки производ   Векторски производ векторског производа два вектора.

Оператори и теоремеУреди

Диференцијални операториУреди

Векторски рачун проучава различите диференцијалне операторе дефинисане на скаларним или векторским пољима, који се обично изражавају у виду del оператора ( ), такође познатог као „набла”. Три основна векторска оператора су:[3][4]

Диференцијални оператори у векторском рачуну
Операција Нотација Опис Нотација
аналогија
Домен/опсег
Градијент   Мери брзину и смер промене у скаларном пољу. Скаларно множење Пресликава скаларна поља у векторска поља.
Дивергенција   Мери скалар извора или понора у датој тачки у векторском пољу. Скаларни производ вектора Пресликава векторска поља у скаларна поља.
Ротор   Мери тенденцију ротације око тачке у векторском пољу у  . Векторски производ Пресликава векторска поља у (псеудо)векторска поља.
f означава скаларно поље и F означава векторско поље

Такође се често користе два Лапласова оператора:

Лапласови оператори у векторском рачуну
Операција Нотација Опис Домен/опсег
Лапласијан   Мери разлику између вредности скаларног поља са његовим просеком на инфинитезималним куглама. Мапе између скаларних поља.
Векторски Лапласијан   Мери разлику између вредности векторског поља са његовим просеком на инфинитезималним куглама. Мапе између векторских поља.
f означава скаларно поље и F означава векторско поље

Квантитет који се назива Јакобијанска матрица је користан за проучавање функција када су домен и опсег функције мултиваријабилни, као што је промена променљивих током интеграције.

Теореми интегралаУреди

Три основна векторска оператора имају одговарајуће теореме које генерализују основну теорему рачуна на више димензије:

Интегралне теореме векторског рачуна
Теорема Исказ Опис
Теорема градијента   Криволинијски интеграл градијента скаларног поља дуж криве L једнак је промени скаларног поља између крајњих тачака p и q криве.
Теорема дивергенције   Интеграл дивергенције векторског поља над n-димензионалним чврстим телом V једнак је флуксу векторског поља кроз (n−1)-димензионалну затворену граничну површину тела.
Теорема ротоара (Келвин–Стоукс)   Интеграл кривуље векторског поља преко површине Σ у   једнак је кружењу векторског поља око затворене криве која ограничава површину.
  означава скаларно поље и F означава векторско поље

У две димензије, теореме о дивергенцији и увијању своде се на Гринову теорему:

Гринова теорема векторског рачуна
Теорема Исказ Опис
Гринова теорема   Интеграл дивергенције (или завоја) векторског поља преко неког региона A у   једнак је флуксу (или циркулацији) векторског поља преко затворене криве која ограничава регион.
За дивергенцију, F = (M, −L). За ротор, F = (L, M, 0). L и M су функције од (x, y).

РеференцеУреди

  1. ^ Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. стр. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3. 
  2. ^ „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault (на језику: енглески). 2020-03-25. Приступљено 2020-09-17. 
  3. ^ „List of Calculus and Analysis Symbols”. Math Vault (на језику: енглески). 2020-05-11. Приступљено 2020-09-17. 
  4. ^ „Differential Operators”. Math24 (на језику: енглески). Приступљено 2020-09-17. 

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди