Велика кружница

Велика кружница, такође позната као ортодром, сфере (лопте) је кружница која се добија пресеком сфере са равни која пролази кроз њен центар. Полупречник велике кружнице сфере једнак је полупречнику сфере на којој она лежи. Кроз сваке две тачке сфере које нису крајеви њеног пречника пролази само једна велика кружница сфере. Било које две велике кружнице сфере секу се у двема дијаметрално супротним тачкама сфере. Велика кружница је највећи круг који се може нацртати на било којој датој сфери. Било који пречник било које велике кружнице поклапа се са пречником сфере, те стога све велике кружнице имају исто средиште и обим једна са другом. Овај посебан случај кружнице сфере је у супротности са малом кружницом, односно пресеком сфере и равни која не пролази кроз центар. Сваки круг у Еуклидском 3-простору је велики круг тачно једне сфере.

Велика кружница дели сферу на две једнаке хемисфере

За већину парова различитих тачака на површини сфере постоји јединствена велика кружница кроз две тачке. Изузетак је пар антиподних тачака,[1] за које постоји бескрајно много великих кругова. Мали лук великог круга између две тачке је најкраћи површински пут између њих. У том смислу, мали лук је аналоган „правим линијама“ у Еуклидској геометрији. Дужина мањег лука великог круга узима се као растојање између две тачке на површини сфере у Риманској геометрији где се такве велике кружнице називају Римановским кружницама.[2] Ове велике кружнице су геодезици сфере.[3][4]

Диск омеђен великом кружницом назива се велики диск:[5][6] то је пресек лопте и равни која пролази кроз њено средиште. У вишим димензијама, велике кружнице на n-сфери пресек су n-сфере и 2-равни које пролазе кроз координатни почетак у Еуклидском простору Rn + 1.

Извођење најкраћих стазаУреди

Да би се доказало да је мањи лук великог круга најкраћи пут који повезује две тачке на површини сфере, на њега се може применити варијациони рачун.[7][8][9][10]

Размотримо класу свих правилних путања од тачке   до друге тачке  . Могу се увести сферне координате тако да се   поклапа са северним полом. Било која крива на сфери која не пресеца ниједан пол, осим можда на крајњим тачкама, може се параметризовати помоћу

 

под условом да се допусти да   поприми произвољне реалне вредности. Инфинитезимална дужина лука у овим координатама је

 

Стога, дужина криве   од   до   је функционал крива дата са

 

Према Ојлер-Лагранжовој једначини,[11][12]   је минимизован ако и само ако

 ,

при чему је   константа независна од  , и

 

Из прве од ове две једначине се може се добити да

 .

Интегришући обе стране и узимајући у обзир гранични услов, реално решење за   је нула. Стога,  и   могу бити било које вредности између 0 и  , што значи да крива мора лежати на меридијану сфере. У картезијанским координатама ово је

 

што је раван кроз координатни почетак, тј. центар сфере.

ПрименеУреди

Неки примери великих кругова на небеској сфери укључују небески хоризонт,[13][14] небески екватор,[15][16] и еклиптику.[17][18] Велике кружнице се такође користе као прилично прецизне апроксимације геодезика на површини Земље за ваздушну или морску навигацију (иако то није савршена сфера), као и за сфероидна небеска тела.

Екватор идеализоване земље је велики круг и сваки меридијан и његов супротни меридијан чине велики круг.[19] Још један велики круг је онај који дели копнену и водену хемисферу. Велика кружница дели земљу на две хемисфере и ако велика кружница пролази кроз тачку она мора проћи кроз антиподалну тачку.

Фанкова трансформација интегрише функцију дуж свих великих кругова сфере.[20][21][22]

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^   Chisholm, Hugh, ур. (1911). „Antipodes”. Encyclopædia Britannica. 2 (11. изд.). Cambridge University Press. стр. 133—34. 
  2. ^ Gromov, M.: "Filling Riemannian manifolds", Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1–147.
  3. ^ Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1 . See section 1.4.
  4. ^ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New изд.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 
  5. ^ Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford University Press, стр. 138, ISBN 9780199679591 .
  6. ^ Arnold, B. H. (2013), Intuitive Concepts in Elementary Topology, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 58, ISBN 9780486275765 .
  7. ^ Benesova, B. and Kruzik, M.: "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review 59(4) (2017), 703–766.
  8. ^ Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4.
  9. ^ Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
  10. ^ Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968.
  11. ^ Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7. 
  12. ^ Roubicek, T.: Calculus of variations. Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7, pp.551-588.
  13. ^ Clarke, A.E. Roy, D. (2003). Astronomy principles and practice (PDF) (4th. изд.). Bristol: Institute of Physics Pub. стр. 59. ISBN 9780750309172. Приступљено 9. 7. 2018. 
  14. ^ Young, Andrew T.; Kattawar, George W.; Parviainen, Pekka (1997). „Sunset science. I. The mock mirage”. Applied Optics. 36 (12): 2689—2700. Bibcode:1997ApOpt..36.2689Y. PMID 18253261. doi:10.1364/ao.36.002689. 
  15. ^ „Celestial Equator”. Приступљено 5. 8. 2011. 
  16. ^ Berger, A.L. (1976). „Obliquity and Precession for the Last 5000000 Years”. Astronomy and Astrophysics. 51 (1): 127—135. Bibcode:1976A&A....51..127B. 
  17. ^ USNO Nautical Almanac Office; UK Hydrographic Office, HM Nautical Almanac Office (2008). The Astronomical Almanac for the Year 2010. GPO. стр. M5. ISBN 978-0-7077-4082-9. 
  18. ^ „LEVEL 5 Lexicon and Glossary of Terms”. 
  19. ^ Millar, William (2006). The Amateur Astronomer's Introduction to the Celestial Sphere. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67123-1. 
  20. ^ Bailey, T. N.; Eastwood, Michael G.; Gover, A. Rod; Mason, L. J. (2003), „Complex analysis and the Funk transform” (PDF), Journal of the Korean Mathematical Society, 40 (4): 577—593, MR 1995065, doi:10.4134/JKMS.2003.40.4.577 
  21. ^ Dann, Susanna (2010), On the Minkowski-Funk Transform, Bibcode:2010arXiv1003.5565D, arXiv:1003.5565  
  22. ^ Funk, Paul (1913), „Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien”, Mathematische Annalen, 74 (2): 278—300, doi:10.1007/BF01456044 

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди