Генералисана хипергеометријска функција

За друге генерализације хипергеометријске функције, погледајте хипергеометријску функцију

Не треба мешати са општом хипергеометријском функцијом

Генералисани хипергеометријски ред у математици, је степени ред у ком однос узастопних коефицијената индексиран са n је рационална функција n-а. Ред, ако конвергира, дефинише генералисану хипергеометријску функцију, која тада може бити дефинисана у ширем домену аргумената аналитичким наставком. Генералисани хипергеометријски ред се понекад назива хипергеометријски ред, мада се овај термин понекад односи само на Гаусов геометријски ред. Генералисана хипергеометријска функција укључује (Гаусову) хипергеметријску функцију и конфлуентну хипергеометријску функцију као специјалне случајеве, који заузврат има много одређених специјалних функција, као специјалних случајева, као што су елементарна функција, Баселова функција, и класични ортогонални полиноми.

Обележавање

Хипергеметријски редови се формално дефинишу као степени редови 

$\beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}$

у којима је однос узастопних коефицијената рационална функција н-а. То је,

${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}$

где су A(n) и B(n) полиноми n-а.

На пример, за случај низа експоненцијалне функције,

$1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+c\dots ,$

имамо:

$\beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}.$

Што задовољава дефиницију да је A(n) = 1 и B(n) = n + 1.

Из историјских разлога, претпостављено је да је (1 + n) фактор В-а. Ако ово већ није случај, онда се А и В могу помножити овим фактором; фактор се поништава, тако да услови остају непромењени и не постоји губитак генералности.

Обичај је да се факторизује водећи термин, тако да је β₀ представљено као 1. Полиноми могу бити факторизовани у линеарне факторе фоме (a_j + n)и (b_k + n) односно, да a_j и b_k буду комлексни бројеви.

Из историјских разлога, претпоставља се да је (1 + n) фактор B-а. Ако ово већ није случај, онда и A и B могу бити помножени овим фактором; фактор се поништава, тако да термини остају непрмењени и не постоји губитак генералности.

Однос узстопних коефицијената је сада

${\frac {c(a_{1}+n)\dots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\dots (b_{q}+n)(1+n)}}$,

где су c и d водећи коефицијенти A и B. Ред онда има форму

$1+{\frac {a_{1}\dots a_{p}}{b_{1}\dots b_{q}.1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\dots a_{p}}{b_{1}\dots b_{q}.1}}{\frac {(a_{1}+1)\dots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\dots (b_{q}+1).2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\dots$,

или, скалирањем z одговарајућим фактором и преуређењем, 

$1+{\frac {a_{1}\dots a_{p}}{b_{1}\dots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\dots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\dots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots$.

Ово има форму експоненцијалне генералисане функције. Стандардно обележавање овог реда је обично означено као:

${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)$

или

$\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]$

Користећи растући факторијел или Покамеров симбол:

${\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),&&n\geq 1\end{aligned}}$

ово се може написати као

$\,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\dots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}$

(Приметимо да ова употреба Покамеровог симбола није стандардна, али је стандардна употреба у овом контексту.)

Специјални случајеви

Многе специјалне функције у математици су специјални случајеви конфлуентне хипергеометријске функције или хипергеометријске функције; види одговарајући артикал за примере.

Неке од функција које се односе на сложеније хипергеометријске функције укључују:

• Дилогаритам:

$\operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)$

• Хан полиноми:

$Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1).\$

• Вилсон полиноми:

$p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left({\begin{matrix}-n&a+b+c+d+n-1&a-t&a+t\\a+b&a+c&a+d\end{matrix}};1\right).$

Терминологија

Када су сви термини реда дефинисани и када има не-нулу радијус конвергенције, тада ред дефинише аналитичку функцију. Таква функција, и њен аналитички наставак, се зове хипереометријска функција.

Случај када је радијус конвергенције 0 производи много интересантних редова у математици, на пример непотпуна гама функција има асимптотско проширење. 

$\Gamma (a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-2)}{z^{2}}}\dots \right)$

што се може записати као z^a−1e^−z ₂F₀(1−a,1;;−z⁻¹). Међутим, употреба термина хипергеометријски ред је обично ограничена на случај када ред дефинише стварну аналитичку функцију.

Обичне гипергеометријске редове не треба мешати са основним хипергеометријским редовима, који, упркос свом имену, представљају прилично компликованије и нејасне редове. Основни ред је ку-аналоган обичном хипергеометријском реду. Постоји неколико таквих генералисања обичних хипергеометријских редова, укључујући и оне које произилазе из зоналне сферне функције на Римановим симетричним просторима.

Редови без фактора n! у имениоцу (сабрани сви цели бројеви n, укључујући и негативне) називају се билатерални гипергеометријски редови.

Конвергенција услова

Постоје одређене вредности a_j и b_k за које је бројилац или именилац коефицијената 0.

• Ако је било који a_j не-позитивни цео број (0, −1, −2, etc.) онда ред има само коначан број термина и, у ствари, је полином степена −a_j.
• Ако је било који b_k не-позитивни цео број (узимајући у обзир претходни случај −b_k < a_j) онда именилац постаје 0 и ред је недефинисан..

Узимајући у обзир ове случајеве, тест односа може бити примењен за одређивање полупречника конвергенције.

• Ако је p < q + 1 онда однос коефицијената тежи нули. Ово имплицира да ред конвергира за сваку коначну вредност z. Пример је снага реда за експоненцијалну функцију.
• Ако је p = q + 1 онда однос коефицијената тежи јединици. Ово имплицира да ред конвергира за  |z| < 1 и дивергира за |z| > 1. Да ли конвергира за |z| = 1 је теже одредити. Аналитички нставак може бити од користи за велике вредности z.
• Ако је p > q + 1 онда однос коефицијената расте без граница. Ово имплицира, да осим када је z = 0, ред дивергира. Ово је онда дивергентни или асимптотски ред, или се може тумачити као симболичка стенографија за диференцијалну једначину да збир задовољава.

Питање конвергенције за p=q+1 када је z на јединици кружнице је теже. Може се показати да ред апсолутно конвергира за z = 1 ако је

$\Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0$.

Додатно, ако је p=q+1, $\sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}$ и z је реалан број, онда се следећа конвергенција задржава. (Quigley et al 2013):

$\lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {d\log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}$.

Основне особине

Из дефиниције је непосредно да ред параметара a_j, или параметара b_k може бити промењен без промене вредности функције. Таође, ако је било који од параметара a_j једнак било ком од параметара b_k, онда се ти једнаки параметри могу „поништити“, са одређеним изузетком када су параметри не-позитивни цели бројеви. На пример,

$\,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)$.

Ојлерова трансформација интеграла

Следећи основни идентитет је веома користан јер повезује хипергеометријске функције вишег реда у смислу интеграла над нижим редовима

${}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt$

Диференцијација

Генералисана хипергеометријска функција задовољава

${\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}$

Комбиновањем овога добијамо диференцијалну једначину заводољиву са w = _pF_q:

$z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w$.

Гранична функција и повезани идентитети

Узмимо следећи израз:

$\vartheta =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}.$

Из диференцијалне формуле дате горе, линеарни простор обухвата

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)$

садржећи сваки од

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),$

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q};z),$

$z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1;z),$

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).$

Како простор има две димензије, било које три од ових p+q+2 функција су линеарно зависне. Ова зависност може бити написана да генералише велики број идентитета укључујући ${}_{p}F_{q}$.

На пример, у најједноставнијем не-тривијалном случају,

$\;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)$,

$\;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)=({\frac {\vartheta }{a-1}}+1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)$,

$z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z)$,

Тако је

$\;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)-\;{}_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)$.

Овај, и други важни примери,

$\;{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$,

$\;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$,

$\;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$

$\;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)$,

$\;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-a)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)$,

$\;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)$,

се могу користити за генерисање наставка разломка израза познатог као Гаусов наставак разломка.

Слично томе, применом формуле диференцијалице два пута, постије  ${\binom {p+q+3}{2}}$ такве функције садржане у

$\{1,\vartheta ,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),$

који има димензију три тако да су било која четири линеарно зависна. Ово ствара више идентитета и процес може бити настављен. Идентитети овако генерисани могу се међусобно комбиновати да се произведу нови на другачији начин.

Функција добијена додавањем ±1 тачно једном од параметара a_j, b_k у

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)$

се зове гранична за

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).$

Користећи технику која је горе наведена, идентитет који се односи на ${}_{0}F_{1}(;a;z)$ и његове две суседне функције могу бити дате, шест идентитета повезујући ${}_{1}F_{1}(a;b;z)$ и било које две његове функције, и петнаести идентитет повезујући ${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ и било које две од његових шест узастопних функција су нађене. (Прва је изведена у претходном пасусу. Последњу петнаесту је дао Гаус у свом раду 1812. године)

Идентитети

За идентитете који укључују Гаусову хипергеометријску функцију ₂F₁, види Хипергеометријску функцију.

Известан број других идентитета хипергеометријских функција откривен је у деветнаестом и двадесетом веку. Допринос 20. век методологији доказивања ових идентитета је Егоричев метод.

Заилшуцова теорема

Заилшуцова теорема Saalschütz 1890 је

${}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.$

За проширење ове теореме, види истраживачки рад Рака и Рати.

Диксонов идентитет

Главни чланак: Диксонов идентитет

Диксоном идентитет, доказан од стране Dixon (1902), даје суму добро-уравнотеженог ₃F₂ за 1:

${}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.$

За генералисање Диксоновог идентитета, види истраживачки рад Лавојеа, и сарадника.

Дугалова формула

Дугалова формула (Dougall 1907)  даје збир окончаних добро-уравнотежених редова:

${\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}\end{aligned}}$

под условом да је m не-негативан цео број (тако да се ред завршава) и

$1+2a=b+c+d+e-m.$

Много других формула за специјалне вредности хипергеометријске функције може бити изведено из овога као специлани или ограничени случајеви.

Генераллисане Камерове трансформације и идентитети за ₂F₂

Идентитет 1.

$e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)$

где је

$f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}$;

Идентитет 2.

$e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),$

који повезује Баселову функцију ₂F₂; ово се своди на Камерову другу формулу b = 2a:

Идентитет 3.

$e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)$.

Идентитет 4.

${\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}$

што је коначна сума ако је b-d не-негативни цео број.

Камерова веза

Камерова веза је

${}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).$

Клаузенова формула

Главни чланак: Клаузенова формула

Клаузенова формула

${}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}$

је коришћена од стране де Брангеса да докаже Бибербракова нагађања.

Специјални случајеви

Ред ₀F₀

Главни чланак: Експоненцијална функција

Као што је раније примећено, ${}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}$. Диференцијална једначина за ову функцију је ${\frac {d}{dz}}w=w$, која има решења $w=ke^{z}$ где је k константа.

Ред ₁F₀

Такође раније примећено, 

${}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.$

Диференцијлна једначина за ову функцију је

${\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,$

или

$(1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,$

која има решења

$w=k(1-z)^{-a}$

где је k константа.

${}_{1}F_{0}(1;;z)=(1-z)^{-1}$ је геометријски ред са односом z и коефицијентом 1.

Ред ₀F₁

Функције форме  ${}_{0}F_{1}(;a;z)$ се зову are called конфлуентне хипергеометријске граничне функције и уско су повезане са Баселовом функцијом. Веза је:

$J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).$

Диференцијална једначина за ову функцију је

$w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}$

или

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.$

Када a није цео позитиван број, замена

$w=z^{1-a}u,$

даје линеарно независно решење

$z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),$

тако да је опште решење

$k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)$

где су k, l константе. (Ако је a позитиван цео број, независно решење је тако одговарајућом Баселовом функцијом друге врсте.)

Ред ₁F₁

Главни чланак: Конфлуентна хипергеометријска функција

Функције форме ${}_{1}F_{1}(a;b;z)$ се називају конфлуентне хипергеометријске функције прве врсте, пишу се и као $M(a;b;z)$. Непотпуна гама функција $\gamma (a,z)$ је специјални случај.

Диференцијална једначина за ову функцију је

$\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}$

или

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.$

Кад је b позитиван цео број, замена

$w=z^{1-b}u,$

даје линеарно независно решење

$z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),$

тако да је опште решење

$k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)$

где су k, l константе.

Када је a не-позитиван цео број, −n, ${}_{1}F_{1}(-n;b;z)$ је полином.  До константних фактора, ово су Лагерови полиноми. Ово имплицира да Хермитови полиноми могу бити у терминима ₁F₁ такође.

Ред ₂F₀

Ово се дешава у повезаности са експоненцијалном интегралном функцијом Ei(z).

Ред ₂F₁

Главни чланак: Хипергеометријска функција

Историјски, најважније су функције форме${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$. Оне се понекад зову Гаусове хипергеометријске функције, класичне стандардне хипергеометријске или често једноставно хипергеометријске функције. Термин Генералисана хипергеометријска функција се користи за функције _pF_q ако постоји ризик од конфузије. Ова функција је први пут употребљена у детаљима од стране Карла Фридриха Гауса, који је представио услове њене конвергенције.

Диференцијална једначина за ову функцију је

$\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}$

или

$z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(c-(a+b+1)z){\frac {dw}{dz}}-abw=0.$

Позната је као хипергеометријска диференцијална једначина. Када c није позитиван цео број, замена

$w=z^{1-c}u$

даје линеарно независно решење

$z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),$

тако да је опште решење за |z| < 1

$k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)$

где су k, l константе. Друга решења се могу извести за друге вредности z. У ствари, постоји 24 решења, познатих као Кумерова решења, изведених користећи различите идентитете, важећих у различитим регионима комплексне равни.

Када је a не-позитиван цео број, −n,

${}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)$

је полином. is a polynomial. До константни фактора и скалирања, ово су Јакобијеви полиноми. Неколико других класа ортогоналних полином, до константних фактора, су специјални случајеви Јакобијевих полинома, тако да ово може бити проширено коришћењем ₂F₁ такође. Ово укључује Лежандрове полиноме и Чебиљевшеве полиноме.

Широк спектар интеграла елементарних функција може се изразити помоћу хипергеометријске функција, нпр:

$\int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.$

Ред ₃F₀

Оо се дешава у повезаности са Мотовим полиномима.

Ред ₃F₁

Ово се дешава у теорији Баселове функције. Ово пружа начин да се израчуна Баселове функција великих аргумената.

Генералисања

Генералисана хипергеометријска функџија је повезана са Мајер Г-функцијом и МакРоберт Е-функцијом. Хипергеометријски редови су генералисани до неколико варијабли, на пример од стране Паула Емилија Апела и Јосифа Кампеа де Фериета; али је требало много да се појави упоредива општа теорија. Пронађено је много идентитета, неки сасвим изузетни. Генералисање, аналогни ку-ред, назван основни хипергеометријски ред, дат је од стране Едуарда Хејна у касном деветнаестом веку. Овде се односи сматрају узастопним терминима, уместо рационалне функције n-а, је рационална функција qⁿ. Друго генералисање, елиптичног геометријског реда, су они редови у којима је однос термина елиптичне функције (двострука периодична мероморфна функција) n.

Током двадесетог века ово је било плодно подручје комбинаторне математике, са бројним повезаностима са другим областима. Постоји велики број нових дефиниција генералисане хипергеометријске функције, од стране Аомота, Израела Гелфанда, и других; и апликације за пример комбинаторике уређења броја хиперравни у комплексном Н-простору

(види распоред хиперравни).

Специјалне хипергеометријске функције настају као зонске сферне функције из Риманових симетричних простора  и семи-једноставних Лијевих група. Њихов значај у улога могу се разумети путем следеће примера: хипергеометријски ред ₂F₁ има Лежандрове полинове као специјални случај, а када се посматра у облику сферних хармоника, ови полиноми се одражавају на, у извесном смислу, симетрију својства две сфере, или, еквивалентно, на ротацију дату Лијевом групом SO(3). У тензорима производа декомпензација конкретних представа за ову групу Клебш-Горданових коефицијената је испуњена, што се може написати као ₃F₂ хипергеометријски редови.

Билатернални хипергеометријски редови су генерализација хипергеометријске функције где се сабирају сви цели бројеви, не само позитивни.

Фокс-Рајт функције су генерализација генералисаних хипергеометријских функција где су Покамерови симболи у реду израза генералисани до гама фунцкија линеаних израза са индексом n.

Литература

• Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde (2010). „Generalized hypergeometric function”. Ур.: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. 
• Dixon, A. C. (1902). „Summation of a certain Series”. Proceedings of the London Mathematical Society. 35 (1): 284—291. doi:10.1112/plms/s1-35.1.284. 
• Bailey, W.N. (1935). Generalized hypergeometric series. Camb. Tracts Math. Math. Phys. 32. Cambridge University Press, Cambridge. Zbl 0011.02303. 
• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2. 
• Dougall, J. (1907). "On Vandermonde's theorem and some more general expansions". Proc. Edinburgh Math. Soc. 25: 114–132. Dougall, John (1906). „On Vandermonde's Theorem, and some more general Expansions”. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 25: 114. doi:10.1017/S0013091500033642. .
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955). Higher transcendental functions. Vol. III. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London. MR „MathSciNet”. .
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series; Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 96 (2nd изд.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83357-8. 
• Gauss, Carl Friedrich (1813). Gauss, Carl Friedrich (1866). Carl Friedrich Gauss Werke: Bd. Analysis (Various texts, in Latin and German, orig. Publ. Between 1799-1851, or found in the "Nachlass"; annotated by E.J. Schering). 1866 [i.e. 1868. . "Disquisitiones generales circa seriam infinitam $1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}$". Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (in Latin) (Göttingen) 2. (a reprint of this paper can be found in Gauss, Carl Friedrich (1866). Carl Friedrich Gauss Werke: Bd. Analysis (Various texts, in Latin and German, orig. Publ. Between 1799-1851, or found in the "Nachlass"; annotated by E.J. Schering). 1866 [i.e. 1868. . Carl Friedrich Gauss, Werke. pp. 125)
• Grinshpan, A. Z. (2013), "Generalized hypergeometric functions: product identities and weighted norm inequalities", The Ramanujan Journal 31 (1-2): 53–66, . doi:10.1007/s11139-013-9487-x. 
• Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik. . 1994. ISBN 978-0-12-336170-7.  . (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
• Lavoie, J.L.; Grondin, F.; Rathie, A.K.; Arora, K. (1994). "Generalizations of Dixon's theorem on the sum of a 3F2". Math. Comp. 62: 267–276. . doi:10.2307/2153407.  .
• Miller, A. R.; Paris, R. B. (2011). "Euler-type transformations for the generalized hypergeometric function _r+2F_r+1". Zeit. Angew. Math. Physik: 31–45. . doi:10.1007/s00033-010-0085-0.  .
• Quigley, J.; Wilson, K.J.; Walls, L.; Bedford, T. (2013). "A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates". Risk Analysis. . doi:10.1111/risa.12035.  .
• Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). "New summation formula for ₃F₂(1/2) and a Kummer-type II transformation of ₂F₂(x)". Mathematical Communications 13: 63–66. MR http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2422088.  . Zbl http://zbmath.org/?format=complete&q=an:1146.33002.  .
• Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). "Extensions of Euler's type- II transformation and Saalschutz's theorem". Bull. Korean Math. Soc. . 48 (1): 151—156. doi:10.4134/bkms.2011.48.1.151.  .
• Saalschütz, L. (1890). "Eine Summationsformel". Zeitschrift für Mathematik und Physik (in German) 35: 186–188. JFM http://zbmath.org/?format=complete&q=an:22.0262.03.  .
• Slater, Lucy Joan (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06483-5. 
• Yoshida, Masaaki Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. . 1997. ISBN 978-3-528-06925-4.  . MR http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1453580.  .

Спољашње везе

• The book "A = B", this book is freely downloadable from the internet.
• MathWorld
  • Weisstein, Eric W., "Generalized Hypergeometric Function", MathWorld.
  • Weisstein, Eric W., "Hypergeometric Function", MathWorld.
  • Weisstein, Eric W., "Confluent Hypergeometric Function of the First Kind", MathWorld.
  • Weisstein, Eric W., "Confluent Hypergeometric Limit Function", MathWorld.