Дељење је једна од четири основне операције аритметике, the ways that numbers are combined to make new numbers. The other operations are addition, subtraction, and multiplication. The division sign Шаблон:Char, a symbol consisting of a short horizontal line with a dot above and another dot below, is often used to indicate mathematical division. This usage, though widespread in anglophone countries, is neither universal nor recommended: the ISO 80000-2 standard for mathematical notation recommends only the solidus Шаблон:Char or fraction bar for division, or the colon for ratios; it says that this symbol "should not be used" for division.[1]

20 / 4 = 5, илустровано овде са јабукама. Ово се вербално може исказати као „Двадесет подељено са четири једнако је пет”.

At an elementary level the division of two natural numbers is, among other possible interpretations, the process of calculating the number of times one number is contained within another.[2]:7 This number of times is not always an integer (a number that can be obtained using the other arithmetic operations on the natural numbers).

The division with remainder or Euclidean division of two natural numbers provides an integer quotient, which is the number of times the second number is completely contained in the first number, and a remainder, which is the part of the first number that remains, when in the course of computing the quotient, no further full chunk of the size of the second number can be allocated.

For a modification of this division to yield only one single result, the natural numbers must be extended to rational numbers (the numbers that can be obtained by using arithmetic on natural numbers) or real numbers. In these enlarged number systems, division is the inverse operation to multiplication, that is a = c / b means a × b = c, as long as b is not zero. If b = 0, then this is a division by zero, which is not defined.[а][5]:246

Both forms of division appear in various algebraic structures, different ways of defining mathematical structure. Those in which a Euclidean division (with remainder) is defined are called Euclidean domains and include polynomial rings in one indeterminate (which define multiplication and addition over single-variabled formulas). Those in which a division (with a single result) by all nonzero elements is defined are called fields and division rings. In a ring the elements by which division is always possible are called the units (for example, 1 and −1 in the ring of integers). Another generalization of division to algebraic structures is the quotient group, in which the result of "division" is a group rather than a number.

УводУреди

The simplest way of viewing division is in terms of quotition and partition: from the quotition perspective, 20 / 5 means the number of 5s that must be added to get 20. In terms of partition, 20 / 5 means the size of each of 5 parts into which a set of size 20 is divided. For example, 20 apples divide into five groups of four apples, meaning that twenty divided by five is equal to four. This is denoted as 20 / 5 = 4, or 20/5 = 4.[3] What is being divided is called the dividend, which is divided by the divisor, and the result is called the quotient. In the example, 20 is the dividend, 5 is the divisor, and 4 is the quotient.

Unlike the other basic operations, when dividing natural numbers there is sometimes a remainder that will not go evenly into the dividend; for example, 10 / 3 leaves a remainder of 1, as 10 is not a multiple of 3. Sometimes this remainder is added to the quotient as a fractional part, so 10 / 3 is equal to 3 1/3 or 3.33..., but in the context of integer division, where numbers have no fractional part, the remainder is kept separately (exceptionally, discarded or rounded).[6] When the remainder is kept as a fraction, it leads to a rational number. The set of all rational numbers is created by extending the integers with all possible results of divisions of integers.

Unlike multiplication and addition, division is not commutative, meaning that a / b is not always equal to b / a.[7] Division is also not, in general, associative, meaning that when dividing multiple times, the order of division can change the result.[8] For example, (20 / 5) / 2 = 2, but 20 / (5 / 2) = 8 (where the use of parentheses indicates that the operations inside parentheses are performed before the operations outside parentheses).

Division is traditionally considered as left-associative. That is, if there are multiple divisions in a row, the order of calculation goes from left to right:[9][10]

 

Division is right-distributive over addition and subtraction, in the sense that

 

This is the same for multiplication, as  . However, division is not left-distributive, as

 

This is unlike the case in multiplication, which is both left-distributive and right-distributive, and thus distributive.

Дељење у математициУреди

 

Дељење у математици је, дакле, операција супротна множењу. То је рачунска радња којом се из датог производа и једног чиниоца, тј. фактора, добија други чинилац. Поделити a са b значи наћи такво x да је b·x = a, или x·b = a. Дати производ a се назива дељеник, дати чинилац b назива се делилац, или делитељ, а непознати, тражени други чинилац x се назива количник или однос a са b. Операција дељења се означава са две тачке (a:b), или хоризонталном цртом  , или косом цртом (a/b).

У прстену целих бројева дељење није увек изводљиво. На пример 12 је дељиво са 6, али није дељиво са 5. Ако се у дељењу целог броја a целим бројем b као количник добија цео број, каже се да је први број дељив (без остатка) са другим. У пољу рационалних бројева дељење је увек изводљиво и једнозначно, сем дељења с нулом. Ако је b≠0, за a≠0 ће бити a≠b·0. У дељењу a=0 са b=0 количник x може бити сваки број. Међутим, да се не би нарушила једнозначност операције, дељење нулом се и у таквом случају сматра немогућим.

Дељење са остатком два цела броја a и b који нису негативни је изналажење два броја x и y, који такође нису негативни, и који задовољавају услове: 1) a=bx+y, 2) y<b. Број a се назива дељеник (дивиденд), број b је делилац (делитељ, дивизор), x је непотпуни количник (кад је y≠0) или количник (кад је y=0), y је остатак.

Аналогно овоме се дефинише дељење и дељење с остатком за полином.

ОсобинеУреди

 

Дељење са   даје супротни број

 

Нула подељена с природним бројем је 0.

 

Број подељен самим собом даје број 1.

 

Проширивање количника

 

Скрачивање количника

  za  

Количник негативног и позитивног целог броја је негативни број чија је апсолутна вредност једнака количнику апсолутних вредности задатих бројева.

 

Количник два негативна цела броја је позитиван број чија је апсолутна вредност једнака количнику апсолутних вредности дељеника и делитеља.

( 

Дељење се може приказати преко сабирања и одузимања бројева

 

Као и код множења важи закон дистрибуције дељења у односу на сабирање

  Али закон дистрибутивности не важи у случају

 

Двојни разломакУреди

Двојни разломак је разломак облика

 

Он се решава на следећи начин  

Дељење с нуломУреди

Детаљније: Дељење с нулом

Дељење било којег броја са нулом (где је нула делилац) није дефинисано.

Дијељење целих бројеваУреди

Дељење целих бројева није затворена рачунска операција. Количник бројева неће бити цели број ако дељеник није вишекратник делитеља.

Пример

26 се не може поделити са 10 и дати цели број као количник. У том случају постоји четири приступа:

  1. Recimo da se 26 ne može podijeliti sa 10; dijeljenje postaje djelomična funkcija.
  2. Zapisivanje količnika kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, dakle   ili   Ovo je najčešći pristup u matematici.
  3. Zapisati rješenje kao razliku i ostatak, dakle  
  4. Zapisati razliku kao cijeli broj (približni broj), dakle  

Dijeljenje kompleksnih brojevaУреди

Količnik dva kompleksna broja od kojih drugi nije jednak nuli definisano je na sljedeći način.

 

za p, q, r, s realne brojeve r , s razičiti od 0

Jednostavnije j dijeljenje kompleksnih brojeva izraženo na sljedeći način

 

za p, q, r, s realne brojeve r različito od 0.

Dijeljenje decimalnih brojevaУреди

Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u količniku naznačava decimalni zarez kad se završi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika.

 

Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnožimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala.

 

Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomićemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica.

 

 

Таблица дељењаУреди

Неколико основиних таблица дељења су:[11]

Дељење са 1 Дељење са 2 Дељење са 3 Дељење са 4 Дељење са 5 Дељење са 6 Дељење са 7
1:1=1 2:2=1 3:3=1 4:4=1 5:5=1 6:6=1 7 : 7 = 1
2:1=2 4:2=2 6:3=2 8:4=2 10:5=2 12:6=2 14 : 7 = 2
3 : 1 = 3 6:2=3 9:3=3 12:4=3 15:5=3 18:6=3 21 : 7 = 3
4 : 1 = 4 8:2=4 12:3=4 16:4=4 20:5=4 24:6=4 28 : 7 = 4
5 : 1 = 5 10:2=5 15:3=5 20:4=5 25:5=5 30:6=5 35 : 7 = 5
6 : 1 = 6 12:2=6 18:3=6 24:4=6 30:5=6 36:6=6 42 : 7 = 6
7 : 1 = 7 14:2=7 21:3=7 28:4=7 35:5=7 42:6=7 49 : 7 = 7
8 : 1 = 8 16:2=8 24:3=8 32:4=8 40:5=8 48:6=8 56 : 7 = 8
9: 1 = 9 18:2=9 27:3=9 36:4=9 45:5=9 54:6=9 63 : 7 = 9
10:1=10 20:2=10 30:3=10 40:4=10 50:5=10 60:6=10 70 : 7 = 10
Дељење са 8 Дељење са 9 Дељење са 10
8:8=1 9:9=1 10 : 10 = 1
16:8=2 18:9=2 20 : 10 = 2
24:8=3 27:9=3 30 : 10 = 3
32:8=4 36:9=4 40 : 10 = 4
40:8=5 45:9=5 50 : 10 = 5
48:8=6 54:9=6 60 : 10 = 6
56:8=7 63:9=7 70 : 10 = 7
64:8=8 72:9=8 80 : 10 = 8
72:8=9 81:9=9 90 : 10 = 9
80:8=10 90:9=10 100 : 10 = 10

Правила дељењаУреди

Правила дељења могу помоћи при брзом одређивању да ли се један цели број може поделити у други цели број.[12]

Дељивост са бројем 2

Број је дељив бројем 2 ако је паран односно ако је његова последња цифра паран број: 0, 2, 4, 6, 8

 

Дељивост са бројем 3

Број је дељив бројем 3 ако је збир његових цифара дељив са 3.

  ..........    

Дељивост са бројем 4

Број је дељив са 4 ако је двоцифрени број који чине 2 последње цифре тог броја дељив са 4

  jer je  

Дељивост са бројем 5

Број је дељив са 5 ако је његова посљедња цифра 0 или 5

 

 

Дељивост са бројем 6

Број је дељив са 6 ако је са 2 и са 3

  jer je   i  

Дељивост са бројем 8

Број је дељив са 8 ако је троцифрени број који цине 3 последње цифре тог броја дељив са 8

  jer je  

Дељивост са бројем 9

Број је дељив са 9 ако је збир цифара дељив са 9.

  jer je  

Дељивост са бројем 10

Број је дељив са 10 ако је дељив бројевима 2 и 5, односно завешава се цифром 0

  jer je    

Дељење и калкулусУреди

Деривација количника две функције дата је правилом деривације количника:

 

Не постоји генерална метода интеграције количника две функције.

Види јошУреди

НапоменеУреди

  1. ^ Division by zero may be defined in some circumstances, either by extending the real numbers to the extended real number line or to the projectively extended real line or when occurring as limit of divisions by numbers tending to 0. For example: limx→0 sin x/x = 1.[3][4]

РеференцеУреди

  1. ^ ISO 80000-2, Section 9 "Operations", 2-9.6
  2. ^ Blake, A. G. (1887). Arithmetic. Dublin, Ireland: Alexander Thom & Company. 
  3. ^ а б Weisstein, Eric W. „Division”. MathWorld. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. „Division by Zero”. MathWorld. 
  5. ^ Derbyshire, John (2004). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York City: Penguin Books. ISBN 978-0-452-28525-5. 
  6. ^ Weisstein, Eric W. „Integer Division”. MathWorld. 
  7. ^ http://www.mathwords.com/c/commutative.htm Архивирано 2018-10-28 на сајту Wayback Machine Retrieved October 23, 2018
  8. ^ http://www.mathwords.com/a/associative_operation.htm Архивирано 2018-10-28 на сајту Wayback Machine Retrieved October 23, 2018
  9. ^ George Mark Bergman: Order of arithmetic operations Архивирано 2017-03-05 на сајту Wayback Machine
  10. ^ Education Place: The Order of Operations Архивирано 2017-06-08 на сајту Wayback Machine
  11. ^ Tablica
  12. ^ Djeljivost brojem 2, brojem 3, brojem 4, brojem 5, brojem 6, brojem 8, brojem 9, brojem 10

Спољашње везеУреди