Кеплерови закони

(преусмерено са Други Кеплеров закон)

Кеплерови закони описују кретање планета око Сунца. Формулисана су три Кеплерова закона.

Слика приказује 3 Кеплерова закона са две планетарне путање:
(1) Путање планета су елипсе, са жариштима ƒ1 i ƒ2 за прву планету и ƒ1 и ƒ3 за другу планету. Сунце је смештено у жаришту ƒ1.
(2) Два засенчена подручја A1 и A2 имају једнаке површине и време за планету 1 да прекрије подручје A1 је једнако оном да прекрије подручје A2.
(3) Укупна опходна времена планете 1 и планете 2 имају однос t13/2 : t23/2.

Кретање сателита око матичне планете и сваки други сличан систем такође се описују Кеплеровим законима. Назив су добили по немачком астроному Јохану Кеплеру.

Први Кеплеров законУреди

 
Сунце као фокус у елиптичкој орбити

Планете се крећу по елиптичким путањама у којем се у једном од фокуса налази центар масе, сунце.

 

ДоказУреди

Напише се Лагранжева функција за Сунчев систем (неку планету): ,

где је m — маса планете, М — маса Сунца, γ — univerzalna gravitaciona konstanta,  , r — растојање између Сунца и планете,  -радијална брзина и   — азимутална брзина

Сада се може уочити једна константа кретања користећи Лагранжове једначине:

 
Елипса са значајним тачкама

 

Kako je   то је  , односно   је константа кретања или момент импулса планете у односу на Сунце. Сада напишимо Хамилтонову функцију система, која у случају конзервативних сила представља и укупну енергију система:  или  ; одавде је:

 . Елиминише се променљива t сменом:  

Уведе се смена: ;  , па једначина изнад прелази у:

 <=>  

Сменом:  =>  =>  =>  =>  

 = 

Други Кеплеров законУреди

 
Илустрација за Кеплеров други закон

Радијус вектор Сунцепланета у једнаким временским интервалима описује једнаке површине.

Овај закон се математички може представити изразом:

 

Доказ следи из:  

Трећи Кеплеров законУреди

Квадрати периода обиласка планета око сунца (T) сразмерни су кубовима великих полуоса (a) њихових путања.

Математички, овај закон се може написати изразом:  

ДоказУреди

Пође се од израза:  и примети да је  ;  и:

 ; , а — велика полуоса елипсе; е — ексцентритет елипсе или растојање фокуса од центра елипсе; b — мала полуоса,  

 ,  ;  

У овом случају:  ;  ;  

Како је површина елипсе:  =  

 <=>  

 <=>  

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ Bryant, Jeff; Pavlyk, Oleksandr. "Kepler's Second Law", Wolfram Demonstrations Project. Приступљено December 27, 2009.

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди