Епициклоида

Епициклоида (од грч. ὲπί -на, над и грч. κυκλος-круг ) је крива, која се добија када се једна кружница котрља по другој кружници са центром у исходишту и тада произвољна тачка покретне кружнице описује епициклоиду.

Једначина епициклиде

Ако фиксирана кружница има радијус $R$, а покретна кружница радијус $r$ тада се епициклоида може описивати следећим једначинама:

$x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),$

Пошто између радијуса две кружнице постоји омер $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ онда се једначине могу написати као:

$x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,$

$y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\,$

Ако је $k$ целобројан онда је епициклоида затворена и има $k$ шиљака. У случају да је $k$ рационалан број једнак p/q тада епициклоида има p шиљака. У случају да је $k$ ирационалан број крива се никада не затвара, па се добија бесконачан број шиљака. Епициклиоида са једним шиљком назива се кардиоида.

• Epicycloid Examples
• 
  k = 1
• 
  k = 2
• 
  k = 3
• 
  k = 4
• 
  k = 2.1 = 21/10
• 
  k = 3.8 = 19/5
• 
  k = 5.5 = 11/2
• 
  k = 7.2 = 36/5

Доказ

Претпоставимо да желимо да решимо положај тачке $p$ и да $\alpha$ и $\theta$ одговарајући углови приказани на слици. По претпоставци нема клизања између кружница, па вреди:

$\ell _{R}=\ell _{r}$ тј.

$\ell _{R}=\theta R,\ell _{r}=\alpha r$, па се добија једначина:

$\theta R=\alpha r$ и одатле

$\alpha ={\frac {R}{r}}\theta$

Са слике добија се позиција:

$x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

Литература

• Епициклоида