Максвел–Болцманова дистрибуција

У физици (посебно у статистичкој механици), Максвел-Болцманова расподела је посебна дистрибуција вероватноће названа по Џејмсу Клерку Максвелу и Лудвигу Болцману.

Прво је дефинисана и коришћена за описивање брзина честица у идеалним гасовима, где се честице слободно крећу унутар непокретног контејнера без међусобне интеракције, изузев врло кратких судара у којима међусобно или са својим окружењем размењују енергију и моментум. Термин „честица“ у овом контексту односи се само на гасовите честице ( атоме или молекуле), а претпоставља се да је систем честица достигао термодинамичку равнотежу . Енергије таквих честица прате оно што је познато као Маквел-Болцманова статистика, а статистичка расподела брзина изведена је изједначавањем енергија честица са кинетичком енергијом .

Математички, Маквел-Болцманова расподела је хи дистрибуција са три степена слободе (компоненте вектора брзине у Еуклидовом простору), са параметром скале који мери брзине у јединицама пропорционалним квадратном корену од $T/m$ (однос температуре и масе честица).

Маквел-Болцанова расподела резултат је кинетичке теорије гасова, која пружа поједностављено објашњење многих основних гасних својстава, укључујући притисак и дифузију . Маквел-Болцманова расподела се у основи примењује на брзине честица у три димензије, али се испоставило да зависи само од брзине ( износа брзине) честица. Расподела вероватноће брзине честице указује на то које су брзине вероватније: честица ће имати брзину случајно одабрану из расподеле и већа је вероватноћа да ће бити унутар једног опсега брзина од другог. Кинетичка теорија гасова односи се на класични идеалан гас, који је идеализација стварних гасова. У стварним гасовима постоје различити ефекти (нпр. Ван дер Валсове интеракције, вртложни ток, релативистичка ограничења брзине и интеракције квантне размене ) који могу учинити њихову расподелу брзине другачијом од Максвел-Болцманновог модела. Међутим, разређени гасови на уобичајеним температурама понашају се готово као идеалан гас и Максвелова расподела брзине је одлична апроксимација за такве гасове. Идеалне плазме, које су јонизовани гасови са довољно малом густином, често имају и расподелу честица која је делимично или у потпуности максвеловска.

Дистрибуцију је први извео Максвел 1860. године на хеуристичким основама. Болцман је касније, 1870-их, спровео значајна истраживања физичког порекла ове дистрибуције.

Дистрибуција се може извести на основу тога што максимализује ентропију система. Списак извода су:

1. Максимална расподела вероватноће ентропије у фазном простору, са ограничењем очувања просечне енергије$\langle H\rangle =E$ ;
2. Канонски ансамбл .

Функција дистрибуције

Под претпоставком да систем од интереса садржи велики број честица, удео честица унутар бесконачно малог елемента тродимензионалног простора брзине,$d^{3}v$, центриран на вектор брзине величине$v$, је$f(v)d^{3}v$, у којима

$f(v)~\mathrm {d} ^{3}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} ^{3}v,$

где је $m$ маса честица и $kT$ је производ Болцманове константне и термодинамичке температуре .

Функције густине вероватноће брзине брзине неколико племенитих гасова на температури од 298,15 K (25 °C). И оса је С / М, тако да површина под било којим секције криве (која представља вероватноћу брзине бића у том опсегу) је без димензија.

Елемент простора брзине можемо записати као d$^{3}v$ = d$v_{x}$ d$v_{y}$ d$v_{z}$, за брзине у стандардном картезијанском координатном систему или као d$^{3}v$ =$v^{2}$ д$v$ d$\Omega$ у стандардном сферном координатном систему, где d$\Omega$ је елемент пуног угла. У овом случају, $f(v)$ је дата као функција расподеле вероватноће, правилно нормализована тако да$\int f(v)$ d$^{3}v$ преко свих брзина једнака је један. У физици плазме, расподела вероватноће се често помножи са густином честица, тако да је интеграл резултујуће функције расподеле једнак густини.

Максвелова функција расподеле за честице које се крећу само у једном смеру, ако је овај правац $x$, је

$f(v_{x})~\mathrm {d} v_{x}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{1/2}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} v_{x},$

који се могу добити интегрисањем тродимензионалне форме дане изнад $v_{y}$ и$v_{z}$ .

Препознавши симетрију $f(v)$, може се интегрисати преко пуног угла и написати расподела вероватноће брзина као функција

$f(v)~\mathrm {d} v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,4\pi v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} v,$

Ова функција густине вероватноће даје вероватноћу, по јединици брзине, налажења честице брзином близу $v$ . Ова једначина је једноставно Максвел-Болцманова расподела (дата у инфо кутији) са параметром расподеле$a={\sqrt {kT/m}}$ . Максвел-Болцманова расподела еквивалентна је хи дистрибуцији са три степена слободе и параметром скале $a={\sqrt {kT/m}}$ .

Најједноставнија обична диференцијална једначина коју задовољава расподела је:

$kTvf'(v)+f(v)(mv^{2}-2kT)=0,$

$f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {m}{2kT}}}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}$

или представљено без јединице:

$a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x)=0,$

$f(1)={\frac {{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {1}{2a^{2}}}}}{a^{3}}}.$

Дарвин-Фовлер-овом методом средњих вредности добија се Максвел-Болцманова расподела као тачан резултат.

Однос према 2D Максвел-Болцмановој расподели

Симулација 2D гаса који се релаксира према Максвел-Болцмановој расподели брзине

За честице ограничене да се крећу у равни, расподела брзине је дата са

$P(s<|{\vec {v}}|<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp {\bigg (}-{\frac {ms^{2}}{2kT}}{\bigg )}ds$

Ова расподела се користи за опис система у равнотежи. Међутим, већина система не започиње у равнотежном стању. Еволуцијом система ка његовом равнотежном стању управља Болцманова једначина . Једначина предвиђа да ће за интеракције кратког домета равнотежна расподела брзине следити Максвел-Болцманнову расподелу. Десно је симулација молекуларне динамике (МД) у којој је 900 честица тврде сфере ограничено да се креће у правоугаонику. Они комуницирају помоћу савршено еластичних судара. Систем се покреће из равнотеже, али расподела брзине (у плавој боји) брзо конвергира у 2D Маквелл-Болтзманн расподелу (у наранџастој боји).

Типичне брзине

Максвел-Болцманова расподела која одговара соларној атмосфери. Масе честица су једна протонска маса, $m=1{\text{ amu}}=1.67\times 10^{-24}{\text{ g }}$, а температура је ефективна температура сунчеве фотосфере, $T=5800{\text{ K }}$ .${\tilde {V}},{\bar {V}},{\text{ and }}V_{\text{rms}}$ означавају највероватније, средње и средње средње квадратне брзине. Њихове вредности су${\tilde {V}}\approx 9.79{\text{ km/s, }}$${\bar {V}}\approx 11.05{\text{ km/s, }}$ и$V_{\text{rms}}\approx 12.00{\text{ km/s }}$ .

Средња брзина $\langle v\rangle$, највероватнија брзина ( режим) v_p и средња квадратна брзина${\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}$ могу се добити из својстава Максвелове расподеле.

Ово добро функционише за готово идеалне, монатомске гасове попут хелијума, али и за молекуларне гасове попут двоатомског кисеоника . То је зато што, упркос већем топлотном капацитету (већој унутрашњој енергији при истој температури) због већег броја степени слободе, њихова транслациона кинетичка енергија (а самим тим и брзина) остаје непромењена.

$=\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}\ e^{-bv^{2}}dv\right)^{1/2}\,\!$

$=\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {\pi }{b^{5}}}}\right)^{1/2}=\left({\frac {3}{2b}}\right)^{1/2}\,\!$

$={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{p}$}}-->Укратко, типичне брзине су повезане на следећи начин:

$v_{p}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.$

Средња квадратна брзина директно је повезана са брзином звука c у гасу, за

$c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{p},$

где$\gamma =1+{\frac {2}{f}}$ је адијабатски индекс, f је број степена слободе појединачног молекула гаса. За горњи пример, двоатомни азот (приближни ваздух) на 7002300000000000000♠300, $f=5$ и

$c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{p}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,$

права вредност ваздуха се може апроксимализовати коришћењем просечне моларне тежине ваздуха ( 7001290000000000000♠29 ), дајући 7002347000000000000♠347 на 7002300000000000000♠300 (корекције за променљиву влажност ваздуха су реда од 0,1% до 0,6%).

Просечна релативна брзина

$v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle =\int \!d^{3}v_{1}d^{3}v_{2}|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle$

где је тродимензионална расподела брзине

$f({\vec {v}})\equiv {\frac {1}{(2\pi kT/m)^{3/2}}}e^{-{\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}/kT}.$

Интеграл се лако може извршити променом на координате${\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ и${\vec {U}}={\frac {{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}}{2}}.$

Извођење и сродне дистрибуције

Максвел – Болтзманн статистика

Првобитно извођење из 1860. године Џејмса Клерка Максвела био је аргумент заснован на молекуларним сударима кинетичке теорије гасова као и одређеним симетријама у функцији расподеле брзине; Максвел је такође дао рани аргумент да ови молекуларни судари имају тенденцију ка равнотежи. После Максвела, Лудвиг Болцман је 1872. године такође извео расподелу на механичким основама и тврдио да би гасови временом требало да теже ка тој расподели, услед судара (види Х-теорему ). Касније (1877) је поново извео расподелу у оквиру статистичке термодинамике . Изводи у овом одељку су у складу са Болцмановим извођењем из 1877. године, почев од резултата познатог као Максвел -Болцманн статистика (из статистичке термодинамике). Максвел -Болцманова статистика даје просечан број честица пронађених у датом једночестичном микростању. Под одређеним претпоставкама, логаритам фракције честица у датом микростању сразмеран је односу енергије тог стања и температуре система:

$-\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)\propto {\frac {E_{i}}{T}}.$

Претпоставке ове једначине су да честице не интерагују међусобно и да су класичне; то значи да се стање сваке честице може сматрати независно од стања осталих честица. Поред тога, претпоставља се да су честице у топлотној равнотежи.

Ова веза се може написати као једначина увођењем нормализујућег фактора:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp(-E_{i}/kT)}{\sum _{j}\exp(-E_{j}/kT)}}$

(1)

где:

• N_i је очекивани број честица у једночестичном микростању i,
• N је укупан број честица у систему,
• E_i је енергија микростања i,
• збир над индексом j узима у обзир сва микростања,
• T је равнотежна температура система,
• k је Болцманова константа .

Деноминатор у једначини ( 1 ) је једноставно нормализујући фактор тако да односи$N_{i}:N$ доприносе јединству- другим речима, то је нека врста партицијске функције (за једнопартицијски систем, а не уобичајена партицијска функција читавог система).

Будући да су брзина и велоцитет повезани са енергијом, једначина ( 1 ) се може користити за добијање односа између температуре и брзине честица гаса. Све што је потребно је открити густину микростања у енергији, која се одређује поделом простора импулса на регионе једнаке величине.

Расподела вектора импулса

За потенцијалну енергију се узима нула, тако да је сва енергија у облику кинетичке енергије. Однос између кинетичке енергије и импулса за масивне нерелативистичке честице је

$E={\frac {p^{2}}{2m}}$

(2)

где је п ² квадрат импулсног вектора p = [ п _к,  п _и,  п _з ]. Стога једначину ( 1 ) можемо преписати као:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}\right]$

(3)

где је З партицијска функција, која одговара деноминатору у једначини ( 1 ). Овде је m молекулска маса гаса, Т термодинамичка температура и k Болцманова константа . Ова дистрибуција$N_{i}:N$ је пропорционалан функцији густине вероватноће f _п за проналажење молекула са овим вредностима компоненти импулса, па:

$f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]$

(4)

Нормализујућа константа може се одредити препознавањем да вероватноћа молекула има одређени замах мора бити 1. Интегрисањем експоненцијала у ( 4 ) по свим p_k,p _y и pz добија се фактор од

$\iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]dp_{x}\ dp_{y}\ dp_{z}={({\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}})^{3}}$

Тако да је нормализована функција расподеле:

$z=re^{i\phi }=x+iy\,\!$

Сматра се да је расподела производ три независне нормално дистрибуиране променљиве$p_{x}$, $p_{y}$, и$p_{z}$, са одступањем$mkT$ . Поред тога, може се видети да ће величина моментума бити распоређена као Максвел-Болцманнова расподела, са$a={\sqrt {mkT}}$ . Максвел-Болцманнова расподела за импулс (или једнако за брзине) може се темељније добити помоћу Х-теореме у равнотежи у оквиру кинетичке теорије гасних оквира.

Расподела енергије

Расподела енергије је импозантна

$f_{E}(E)dE=f_{p}({\textbf {p}})d^{3}{\textbf {p}},$

(7)

где$d^{3}{\textbf {p}}$ је бесконачно мали запремински простор импулса фазног простора који одговара енергетском интервалу$dE$ . Користећи сферну симетрију односа дисперзије енергије и импулса$E=|{\textbf {p}}|^{2}/2m$, ово се може изразити у$dE$ на следећи начин :

$d^{3}{\textbf {p}}=4\pi |{\textbf {p}}|^{2}d|{\textbf {p}}|=4\pi m{\sqrt {2mE}}dE.$

(8)

Користећи тада ( 8 ) у ( 7 ) и изражавајући све у смислу енергије$E$, добијамо

$f_{E}(E)dE={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}e^{-E/kT}4\pi m{\sqrt {2mE}}dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\left({\frac {1}{kT}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-E}{kT}}\right)dE$

$z=re^{i\phi }=x+iy\,\!$

Будући да је енергија пропорционална збиру квадрата три нормално распоређене компоненте импулса, ова расподела енергије може се записати еквивалентно гама расподели, користећи параметар облика,${k}_{shape}=3/2$ и параметар скале,${\theta }_{scale}=kT$ .

Користећи теорему о равнотежи, с обзиром да је енергија равномерно распоређена између сва три степена слободе у равнотежи, такође можемо поделити$f_{E}(E)dE$ у скуп хи-квадрат дистрибуција, где енергија по степену слободе,$\epsilon$, дистрибуира се као хи-квадрат дистрибуција са једним степеном слободе,

$f_{\epsilon }(\epsilon )\,d\epsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \epsilon kT}}}~\exp \left[{\frac {-\epsilon }{kT}}\right]\,d\epsilon$

У равнотежи, ова расподела ће важити за било који број степени слободе. На пример, ако су честице ригидни масени диполи фиксног диполног момента, имаће три транслациона степена слободе и два додатна ротациона степена слободе. Енергија у сваком степену слободе биће описана према горњој хи-квадрат расподели са једним степеном слободе, а укупна енергија биће распоређена према хи-квадрат дистрибуцији са пет степена слободе. То има импликације у теорији специфичне топлоте гаса.

Максвел-Болцманн-ова расподела се такође може добити узимајући у обзир да је гас врста квантног гаса за који се може извршити апроксимација ε >> к Т.

Расподела за вектор брзине

Схватајући да је густина вероватноће брзине f _v пропорционална функцији густине вероватноће импулса за

$f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v$

и користећи p = m v добијамо

$f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right]$

што је Максвел-Болцманова асподела брзине. Вероватноћа проналаска честице брзином у бесконачно малом елементу [ dv _k,  dv _y, dv _z ] о брзини v = [ v_k, v _y,  v z] је

$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.$

Као и моментум, и за ову расподелу се види да је производ три независне нормално дистрибуиране променљиве$v_{x}$, $v_{y}$, и$v_{z}$, али са одступањем${\frac {kT}{m}}$ . Такође се може видети да је Максвел-Болцманова расподела брзине за векторску брзину [v _k,  v _y,  _vz ] је умножак расподеле за сваки од три правца:

$f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})$

где је расподела за један правац

$f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].$

Свака компонента вектора брзине има нормалну расподелу са средњом вредношћу$\mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0$ и стандардна девијација$\sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}$, тако да вектор има тродимензионалну нормалну расподелу, одређену врсту мултиваријантне нормалне расподеле, са средњом вредности$\mu _{\mathbf {v} }={\mathbf {0} }$ и коваријанција$\Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I$, где$I$ је$3\times 3$ идентитет матрица.

Расподела брзине

Максвел-Болцманова расподела брзине следи непосредно из расподеле вектора брзине, горе. Имајте на уму да је брзина

$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$

а елемент запремине у сферним координатама

$dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}dv\,d\Omega$

где$\phi$ и$\theta$ су сферни координатни углови вектора брзине. Интеграција функције густине вероватноће брзине преко пуних углова$d\Omega$ даје додатни фактор од$4\pi$ . Расподела брзине са заменом брзине за збир квадрата векторских компонената:

$f(v)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}v^{2}\exp \left[-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right].$

У n -димензионалном простору

У n- димензионалном простору Максвел-Болцманова расподела постаје:

$f(v)~\mathrm {d} ^{n}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{n/2}\,e^{-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} ^{n}v$

Дистрибуција брзине постаје:

$f(v)~\mathrm {d} v={\text{const.}}\times e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\times v^{n-1}~\mathrm {d} v$

Следећи интегрални резултат је користан:

${\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}dx^{\frac {1}{2}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}{\frac {x^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}dx\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}{\frac {\Gamma ({\frac {a+1}{2}})}{2}}\end{aligned}}$

где$\Gamma (z)$ је функција Гама . Овај резултат се може користити за израчунавање тренутака функције расподеле брзине:

${\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\end{aligned}}$

која је сама средња брзина$v_{\text{avg}}=\langle v\rangle =\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$ .

${\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}$

Извод функције расподеле брзине:

${\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \ e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\left(-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}\right)=0$

Види још

• Квантна Болцманова једначина
• Маквелл – Болтзманн статистика
• Маквелл-Јуттнерова расподела
• Болцманова расподела
• Болцманов фактор
• Раилеигх дистрибуција
• Кинетичка теорија гасова

Додатна литература

• Физика за научнике и инжењере - са савременом физиком (6. издање), ПА Типлер, Г. Мосца, Фрееман, (2008) ISBN 0-7167-8964-7
• Термодинамика, од концепата до примене (друго издање), А. Схавит, Ц. Гутфингер, ЦРЦ Press (Таилор и Францис Гроуп, САД), (2009) ISBN 978-1-4200-7368-3
• Хемијска термодинамика, ДЈГ Ивес, Универзитетска хемија, Мацдоналд Тецхницал анд Сциентифиц, (1971) ISBN 0-356-03736-3
• Елементи статистичке термодинамике (друго издање), ЛК Насх, Принциплес оф Цхемистри, Аддисон-Веслеи, (1974) ISBN 0-201-05229-6
• Вард, ЦА и Фанг, Г 1999, „Израз за предвиђање флукса испаравања течности: Приступ статистичкој брзини теорије“, Пхисицал Ревиев Е, вол. 59, бр. 1, стр. 429–40.
• Рахими, П & Вард, ЦА 2005, „Кинетика испаравања: приступ теорији статистичке брзине“, Међународни часопис за термодинамику, вол. 8, бр. 9, стр. 1–14.

Максвел–Болцманова дистрибуција на Викимедијиној остави.

Спољашње везе

• "Расподела брзине Маквелл" из пројекта Волфрам Демонстратионс на Матхворлд-у