Отворите главни мени

Златни пресек

Један и корен од два, у збиру, све подељено са два.
Златни правоугаоник[1] (у ружичастом) са дужом страном a и краћом страном side b, када је постављен поред квадрата дужине a, произвешће геометријску сличност златног правоуганика са дужом страном a + b и краћом страном a. Ово илуструје однос .

У математици две величине су у златном односу, ако је однос између две величине једнак односу суме те две вредности наспрам веће вредности. Слика на десној страни илуструје геометријски однос. Алгебарски, за количине a и b и a > b > 0,

грчко слово фи ( или ) представља константу. Њена вредност је:

OEISA001622

Златни однос има и назив златни пресек (латински: sectio aurea).[2][3]. Остали називи укључују екстремни однос,[4] средишњи пресек, златна пропорција, и златни број.[5][6][7] Sectio divina лат. (изговор: секцио дивина). Божанствени пресјек.[8] Овај однос дужи примјењен на предметима, сликама итд. изазива посебан естетски доживљај – допадање, па отуда и назив „Божански пресјек“.[8]

Златни однос се појављује у неким шаблонима у природи, укључујући phyllotaxis (спирално ређање листова) и у другим деловима биљака.

Математичари још од Еуклида су проучавали својства златног односа, укључујући појављивање у димензијама правилног петоугла и у златном правоугаонику, који може да се подели у квадрат и још један правоугаоник истог односа.

ИсторијаУреди

Теорија златног пресека започета је у антици, а свој процват имала је у ренесанси када су уметници, математичари, физичари и астролози тражили савршенство у композицијама познатих структура.

Херодот (484. - 424. пне) „Један египатски свештеник говорећи о облику Кеопсове пирамиде споменуо ми је да је квадрат над њезином висином једнак површини бочног троугла.”

 
Математичка пирамида

 

 

 

 

Грчки кипар Фидије у V веку пне. применио је златни пресек у дизајну својих скулптура и градњи Партенона. Платон (грчки филозоф, V i IV век пне) у „Тимотеју” описује пет правилних геометријских тела као основу хармоничне структуре света. Златни пресек игра кључну улогу у димензијама и обликовању неких од ових тела. Питагорејци (око 500. године пне) долазе до једног од најважнијих открића у математици: дијагонала и страница квадрата (правилног петоугла) су несамерљиве.

 
Златни троугао унутар златног троугла

 

Грчки математичар Еуклид први је овај број уочио и математички изразио. Око 300 година пне написао је књигу „Елементи” у којој наводи прву забилежену дефиницију златног пресека.

Дату дужина се може поделити тако да правоугаоник обухваћен целом дужином и једним одсечком, буде једнак квадрату на другом одсечку.

 

 

 

Сва знања старих Грка објединио је римски архитект Марко Витрувије у делу De architectura libri decem или Десет књига о архитектури, посвећеном императору Августу. Писао је о симетрији храмова, а њихове пропорције упоређује с размерама човечовог тела. Витрувије је уцртао људско тело у кружницу, што је касније поново интерпретирао Леонардо Да Винчи. Лука Пакиоли (1446–1510) штампао је у Венецији 1509. дело De divina proportione, које је имало велики утицај и након којег златни пресек доживљава праву ренесансу. У њему описује хармонијске особине „божанске размјере”. Књигу је илустровао Леонардо да Винци.

Мартин Ом 1835. године у другом издању уџбеника Die reine Elementar - Mathematik (Чиста елементарна математика) први пут користи термин златни пресек. Ознаку   је 1909. предложио амерички математичар Марк Бар у част славног старогрчког кипара Фидије (480–430 пне)

ПрорачунУреди

Бинарни 1.1001111000110111011...
Декадни 1.6180339887498948482...  A001622
Хексадецимални 1.9E3779B97F4A7C15F39...
Верижни разломак  
Алгебарски облик  
Бесконачни ред  

Две величине a и b су у златном односу φ ако

 

Један метод за проналажење вредности φ је са решавањем леве стране. Упрошћавањем разломка и заменом у b/a = 1/φ,

 

Стога је,

 

Множењем са φ даје

 

које може да се изрази као

 

Коришћењем формуле за решавање квадратне једначине, добијају се два решења:

 

и

 

Зато што је φ однос између две позитивне вредности, φ је увек позитивна вредност:

  .

АлгебраУреди

ИрационалностУреди

Златни однос је ирационалан број. Испод су два кратка доказa o ирационалности:

Контрадикција изразу у најнижој вредностиУреди

 
Да је φ рационалан број, онда би био омер странама правоугаоника са целим странама (правоугаоник који обухвата цео дијаграм). Али би такође био и однос целобројних страна мањег правоугаоника (десни део дијаграма) добијен брисањем квадрата. Секвенца смањења целобројне вредности дужине странице формиране брисањем квадрата не може вечно трајати јер цели бројеви имају доње границе, стога φ не може бити рационалан.

Подсетимо се да:

целина је дужи део плус краћи део;
целина је дужи део као што је дужи део на краћи део.

Ако целину именујемо са n а дужи део са m, онда друга изјава постаје:

n је према m исто као што је m према n − m,

или, алгебарски

 

Тврдити да је φ рационалан значи да је φ однос n/m где су n и m цели бројеви. Можемо рећи и да n/m имају најниже вредности и да су n и m позитивни бројеви. Али ако је разломак n/m у најнижим вредностима, онда се идентитет обележава са (*) за горњу једначину m/(n − m) која и даље поседује најниже вредности. То је контрадикција која произлази из тврдње да је φ рационалан.

Извод из ирационалности броја √5Уреди

Још један кратак доказ — вероватно познатији — где ирационалност златног односа користи затвореност рационалних бројева код сабирања и множења. Ако је   рационалан, онда је и   такође рационалан, што је противречно чињеници да је квадратни корен од не-квадрата природног броја ирационалан.

Најмањи полиномУреди

Златни однос је такође и алгебарски број а чак и алгебарски цео број (комплексан број који је корен унарног полинома). Најмањи полином гласи:

 

Због члана са степеном 2, овај полином у ствари има два корена, и друга вредност је сродник златном односу.

Сродник златног пресекаУреди

Друга корена вредност најмањег полинома x2 - x - 1 је

 

Апсолутна вредност ове количине (≈ 0.618) одговара дужини односа у обрнутом смеру (дужина краће стране у односу на дужу страну, b/a), понекад позната под именом сродник златног пресека.[9] Означава се великим словом фи ( ):

 

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2011). The Glorious Golden Ratio. Prometheus Books. стр. 11. ISBN 9-781-61614-424- 1. 
  2. ^ Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5. 
  3. ^ Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
  4. ^ Euclid, Elements, Book 6, Definition 3.
  5. ^ Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920
  6. ^ William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003
  7. ^ Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
  8. 8,0 8,1 Вујаклија М, Лексикон страних речи и израза, Просвета, Београд, 1954. г.
  9. ^ Weisstein, Eric W. „Golden Ratio Conjugate”. MathWorld. 

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди