Отворите главни мени

У математици, имагинарни број је комплексни број чији је квадрат негативан реалан број. Имагинарни бројеви имају облик , гдје је реалан број различит од нуле и имагинарна јединица за коју важи: .

Имагинарни број може бити додат уз реалан број, формирајући тако комплексни број облика , код којег је „реалан део“, а је „имагинарни део“. Имагинарни бројеви се дакле могу сматрати као комплексни бројеви код којих је „реалан део“ нула.

ИсторијаУреди

Грчки математичар Херон из Александрије наводи се као први који је приметио имагинарне бројеве. Рафаел Бомбели је 1572. године дефинисао скуп ових бројева и основне операције са њима. У то време, имагинарне бројеве су појединци сматрали као фиктивне и беспотребне. Многи други математичари су били спори у томе да прихвате употребу имагинарних бројева, као што је био Рене Декарт који је погрдно писао о њима у свом раду „Геометрија“. Декарт је био први који је употребио појам „имагинаран број“ 1637. године. Ова идеја није била широко прихваћена све до радова Леонарда Ојлера (1707-1783) и Карла Фридриха Гауса (1777-1855). Геометријску значајност комплексних бројева је први пронашао Каспар Весел (1745-1818).

Геометријска репрезентацијаУреди

Геометријски гледано, имагинарни бројеви се налазе на вертикалној оси на комплексној равни. Код броја 0 на  -оси, може се нацртати  -оса са позитивним правцом на горе. Позитивни имагинарни бројеви се повећавају према горе, док се негативни смањују према доле. Ова вертикална оса се често назива имагинарна оса и означава се као " ", " " или једноставно као "Im".

У овој репрезентацији множење са -1 је једнако ротацији од 180 степени у односу на координатни почетак. Множење са   је једнако ротацији од 90 степени у "позитивном" правцу (у правацу супротном правцу казаљке на сату). Једначина   се интрепретира као две ротације од 90 степени у односу на координатни почетак, што је исти резултат као једна ротација од 180 степени. Треба запазити да ротација од 90 степени у негативном правцу (правцем казакље на сату) исто задовољава ову интерпретацију. Ово потврђује чињеницу да   такође решење једначине  .

Степеновање имагинарне јединицеУреди

Степеновање имагинарног броја   се кружно понавља. Ово се може видети у следећем примеру где   представља било који број:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,

Ово доводи до закључка да је  .

Види јошУреди