Инверзија у односу на круг

Инверзија у односу на круг представља трансформацију која чува углове и слика уопштени круг у уопштени круг. Под уопштеним кругом подразумевамо круг или праву (круг чији је пречник бесконачан). Многи проблеми у геометрији су упрошћени увођењем појма уопштеног круга. Појам инверзије може бити примењен и на бесконачнодимензионе просторе.

Нека је произвољан круг равни , затим нека је исти тај круг без тачке . Инверзијом у односу на круг називамо трансформацију



која сваку тачку преводи у тачку такву да је




Тачка је центар круга , односно средиште инверзије, дуж је полупречник, а круг називамо кругом инверзије .

Како се тачка приближава центру круга , њен инверз у односу на круг, односно тачка , тежи бесконачности. Слика тачке није дефинисана, нити се нека тачка слика у тачку .[1]

Тачке на кружници се сликају у саме себе. Тачке унутар круга сликају се у тачке изван круга, и обрнуто.

Инверзија у односу на круг је бијективна трансформација.


Конструкција лењиром и шестаромУреди

За тачку изван кругаУреди

 
Конструкција слике тачке   при инверзији у односу на круг  .

Конструкција слике   тачке   при инверзији у односу на круг  :

  • Конструсати дуж  , где је   центар круга  .
  • Конструисати круг   над пречником  .
  • Нека су   и   пресечне тачке кругова   и  .
  • Тачка   ће бити пресек дужи   и  .


За тачку унутар кругаУреди

 
Конструкција слике тачке   при инверзији у односу на круг  .

Конструкција инверза   тачке   унутар круга инверзије  :

  • Конструисати праву   која садржи тачке   (центар круга  ) и  .
  • Конструсати нормалу   из тачке   на праву  .
  • Нека је   једна од тачака пресека круга   и праве  .
  • Конструисати праву   која садржи тачку   и нормална је на праву  .
  • Тачка   ће бити пресек правих   и  .


Конструкција инверза кругаУреди

  • Ако круг   не сече круг инверзије  :
  1. Конструисати праву тако да садржи центре кругова   и  .
  2. Нека су   и   пресечне тачке те праве и круга  .
  3. Конструисати тачке   и  , слике тачака   и   при инверзији у односу на круг  .
  4. Конструисати круг   над пречником  . Тај круг је слика круга   при инверзији у односу на круг  .
  • Ако круг   сече круг инверзије  :
  1. Нека су пресечне тачке кругова   и   тачке   и  .
  2. Конструисати праву тако да садржи центре кругова   и  . Нека је једна од пресечних тачака те праве и круга   тачка  .
  3. Конструисати тачку  , слику тачке   при инверзији у односу на круг  .
  4. Круг  , слика круга   при инверзији у односу на круг  , је круг описан око троугла  .


Основне особинеУреди

  • Инверзија у односу на круг је инволутивна трансформација.[2] Ако је слика тачке   при инверзији у односу на круг   тачка  , то значи да ће слика тачке   при инверзији у односу на круг   бити тачка  .
  • Нека тачка   је инваријантна при инверзији   ако и само ако  .[2] Дакле, све тачке које припадају кружници  , ће се сликати у саме себе.
  • При инверзији   тачки   која се налази унутар круга   одговара тачка   која се налази изван круга  , и обрнуто.[2]
  • Композиција двеју инверзија   и   које су дефинисане у односу на концентричне кругове   и   је хомотетија  .[2]
  • Слика круга   који садржи тачку  , при инверзији у односу на круг  , је права   која не садржи  . Права   је паралелна тангенти круга   у тачки  .
  • Слика круга   који не садржи тачку   је круг   који такође не садржи  . Ако круг   сече круг  , тачке пресека ће припадати и кругу   (јер су тачке на кружници инваријанте).[3][4]
  • Слика праве   која садржи тачку   је иста та права, без тачке  .
  • Слика праве   која не садржи тачку   је круг   који не садржи тачку  .[2]



Остале особине:Уреди

Ортогонални кругови при инверзији у односу на круг  Уреди

Два круга су ортогонална ако и само ако су им тангенте у пресечним тачкама ортогоналне.

  • Инверзија у односу на круг   пресликава неки круг   у њега самог ако и само ако се кругови   и   поклапају или су ортогонални.
  • Тачке пресека два круга   и   који су ортогонални на круг   су међусобно инверзне у односу на круг  .

Углови при инверзији у односу на круг  Уреди

  • Инверзија у односу на круг не мења углове, али мења оријентацију углова.[5]
  • За неки троугао  , где је   центар круга   и где су тачке   и   слике тачака   и   при инверзији у односу на круг   важи:

 

  • Угао под којем се секу две линије   и   у пресечној тачки  , једнак је углу под којем се секу слике линија   и   при инверзији у односу на круг  , линије   и  , у одговарајућој тачки  .[6]


ПрименаУреди

Било која два круга која се не секу, могу се инверзијом пресликати у концентричне кругове. Инверзно растојање представља природни логаритам односа пречника та два концентрична круга.

Инверзија у тродимензионом просторуУреди

 
Тродимензиона илустрација стереографске пројекције са северног пола на раван испод сфере.

У тродимензионом простору, могуће је уопштити инверзију у односу на круг до инверзије у односу на сферу. Слика тачке   при инверзији у односу на сферу са средиштем у тачки   и пречником   је тачка   таква да:  .

Тачке   и   су на истој полуправој, са почетком у тачки  . При оваквој инверзији, слика сфере је сфера, осим у случају када сфера коју инвертујемо садржи тачку  . Тада је слика сфере раван.

Даље, свака раван која не садржи тачку   се слика у сферу, док се раван која садржи тачку   слика у исту ту раван, али која не садржи у тачку  .


Стереографска пројекција је посебан подслучај инверзије у односу на сферу која слика сферу на раван.

ЛитератураУреди

  • Д. Лопандић, Геометрија, Завод за уџбенике, Београд, 2011.

РеференцеУреди

  1. ^ Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 201.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 202.
  3. ^ Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston; pp. 265.
  4. ^ Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 203.
  5. ^ Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston. стр. 269.
  6. ^ Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 204.

Спољашње везеУреди

"Inversion" на сајту MathWorld

Wilson's Inversive Geometry

Симулација инверзије око круга на сајту cut-the-knot.org