Канторов став о равномерној непрекидности

Канторов став даје општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција.

ФормулацијаУреди

Канторов став о равномерној непрекидности функција или Канторова теорема о равномерној непрекидности функција гласи:

Свака функција   која је непрекидна на интервалу  , равномерно је непрекидна на њему.

ДоказУреди

Део 1:

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција   непрекидна на интервалу   (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку   из тог сегмента постоји нека околина   и за све тачке   важи:  .

Изаберимо 2 тачке,  . Тада је:

 

Део 2:

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника,  . Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента  , добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент  , па скуп тих интервала чини покривач сегмента  . Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан подпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке   тако да њихове околине   образују подпокривач сегмента  . Како тачака   има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање   и означимо га са  .

Део 3:

Изаберимо сада неку тачку   из интервала   која припада неком од интервала  , што записујемо:  .

Изаберимо и тачку   из интервала   која се налази у  -околини тачке  , тј.  . То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је  , онда је сигурно и  .

Сада, из   и   имамо да је:

 

тј. обе тачке, и   и  , припадају  -околини тачке  , односно, обе се налазе унутар неке околине  , па из Дела 1: имамо да је онда  , што је и требало доказати.

НапоменаУреди

Канторов став у наведеном облику се односи на реалну анализу. Аналогна теорема постоји и у општијем случају, у топологији код метричких простора.

Види јошУреди

ЛитератураУреди

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.