Конјунктивна нормална форма

У буловској логици, формула је у конјунктивној нормалној форми (КНФ) ако представља конјункцију клауза, где је клауза дисјункција литерала. Као нормална форма, корисна је у аутоматском доказивању теорема.

Све конјункције литерала и све дисјункције литерала су у КНФ, јер се могу посматрати као конјункције једночланих литерала, или као дисјункције једне клаузе, редом. Као и код дисјунктивне нормалне форме (ДНФ), једини исказни везници које формула у КНФ може да садржи су И, ИЛИ, и НЕ. Оператор негације може да се користи само као део литерала, што значи да може да стоји само пре исказне променљиве.

Примери и контрапримериУреди

Следеће формуле су у КНФ:

 
 
 
 

Последња формула је у КНФ, јер се може посматрати као конјункција две једночлане клаузе   и  . Међутим, ова формула је и у дисјунктивној нормалној форми. Следеће формуле нису у КНФ:

 
 
 

Горње три формуле су редом еквивалентне следећим трима формулама које јесу у конјунктивној нормалној форми:

 
 
 

Конверзија у КНФУреди

Свака исказна формула се може трансформисати у логички еквивалентну формулу, која је у КНФ. Ова трансформација користи правила логичке еквиваленције: елиминацију двоструке негације, Де Морганове законе, и закон дистрибутивности.

Како се све логичке формуле могу трансформисати у еквивалентне формуле у КНФ, докази се обично базирају на претпоставци да су све формуле у КНФ. Међутим, у неким случајевима, ова конверзија у КНФ може да доведе до експоненцијалне експлозије (раста дужине) формуле. На пример, трансформисање следеће формуле у КНФ производи формулу са   клауза:

 

Добија се формула:

 

то јест, ова формула садржи   клауза: у свакој клаузи се налази било   или   за свако  .

Постоје трансформације формула у КНФ које чувају задовољивост али не и еквиваленцију, али и не производе експоненцијални раст формула. За ове трансформације се гарантује да формуле повећавају само линеарно, али уводе нове променљиве. На пример, горња гормула се може трансформисати у КНФ додавањем променљивих   на следећи начин:

 

Нека интерпретација задовољава ову формулу само ако барем једна од нових променљивих има вредност тачно. Ако је то променљива  , онда такође   и   имају вредност тачно. Ово значи да сваки модел који задовољава добијену формулу задовољава и почетну. Са друге стране, само неки модели оригиналне формуле задовољавају ову нову, јер се   не спомиње у почетној формули, па њихове вредности нису од значаја за њу, док јесу за нову формулу. Ово значи да су почетна формула и резултат трансформације еквизадовољиви, али не и еквивалентни.

Логика првог редаУреди

У логици првог реда, конјунктивна нормална форма се може трансформисати даље у клаузалну нормалну форму, која је од користи за метод резолуције.

Рачунска сложеностУреди

Важан скуп проблема у рачунској сложености подразумева налажење таквих додела променљивима буловске формуле у конјунктивној нормалној форми, да формула има вредност тачно. k-САТ проблем је проблем налажења задовољавајуће доделе буловској формули исказаној у КНФ, тако да свака дисјункција садржи највише k променљивих. 3-САТ је НП-комплетан проблем (као и сваки други k-САТ, где је k>2) осим 2-САТ, за кога је познато решење у полиномијалном времену.

Трансформисање из логике првог редаУреди

Трансформисање формуле предикатског рачуна у КНФ подразумева следеће кораке:

  1. Трансформисање у негацијску нормалну форму. Елиминишу се импликације:   се замени са  
  2. Негације се увуку унутар заграда
  3. Стандардизују се променљиве
  4. Сколемизује се исказ
  5. Елиминишу се универзални квантификатори
  6. Примени се дистрибутивност на дисјункције и конјункције.[1]

ИзвориУреди

  1. ^ (Artificial Intelligence: A modern Approach [1995...] Russel and Norvig)

Види јошУреди

Спољашње везеУреди