Корисник:Domatrios/Шта је математика?

Шта је математика? уреди

Шта је математика? Кад бисте ово питање поставили првој особи на коју наиђете, одговор би највероватније гласио: ,,Математика проучава бројеве." Ако бисте инсистирали да ваш саговорник буде одређенији, можда бисте измамили објашњење да је математика „наука о бројевима". Даље од овога не бисте стигли, иако то није одговарајући опис математике. Превазиђен је већ 2500 година! Одговор на питање „Шта је математика?" мењао се неколико пута од тада.

Око петстоте године пре нове ере, математика се заиста бавила бројевима. Древна египатска, вавилонска и кинеска математика састојала се готово искључиво од аритметике. Била је веома практична и веома је подсећала на кувар. («Урадите то и то броју и добићете решење.") Између петстоте године пре нове ере и тристоте године нове ере, математика је превазишла проучавање бројева. Старогрчке математичаре више је занимала геометрија. Они су, у ствари, проучавали бројеве на геометријски начин, као мере за дужину, и када су открили да постоје дужине којима не одговарају њихови бројеви (такозване ирационалне дужине), њихово проучавање бројева било је обустављено. Пошто су се Грци посебно интересовали за геометрију, математика је за њих била наука о бројевима и облику.

Грци су математику од скупа метода за мерење, бројање и рачунање, претворили у академску дисциплину са естетским и религиозним елементима. На почетку старогрчког раздобља, Талес је увео идеју да се прецизно формулисана математичка тврђења могу логички доказати помоћу формалних расуђивања. Код Грка је овај приступ достигао врхунац око 350. године пре нове ере, кад су објављени Еуклидови „Елементи" у тринаест томова, који су, после Библије, најчитанија књига свих времена.

Иако се после Грка математика развијала у више крајева света - посебно у Арабији и Кини - њена природа није се мењала све до средине седамнаестог века, када су Исак Њутн (Isaac Newton) у Енглеској и Готфрид Вилхелм Лајбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz) у Немачкој, независно један од другог, изумели диференцијални и интегрални рачун. У основи, диференцијални и интегрални рачун проучава покрет и промену.

Пре тога, математика је углавном била ограничена на разматрање статичких питања - бројања, мерења и описивања облика. Нове технике за проучавање кретања и промене омогућиле су математичарима да истражују кретање планета и гравитацију, рад машина, проток течности, ширење гасова, физичке силе, као што су магнетна и електрична, летење, раст биљака и животиња, ширење епидемија и проток профита.

Математика је постала наука која проучава број, облик, кретање, промену и простор.

У почетку је диференцијални и интегрални рачун углавном коришћен за проучавање физике, и већина математичара седамнаестог и осамнаестог века били су и физичари. Али, од 1750, када су математичари пожелели да открију шта се крије иза огромне моћи диференцијалног и интегралног рачуна, порасло је интересовање за теоријску математику, а не само за њену употребу. Крајем деветнаестог века, математика је проучавала број, облик, кретање, промену, простор и математичка оруђа која се користе при овим проучавањима. Ово је био почетак модерне математике.

Пораст математичке активности у овом веку најбоље се може описати као експлозија знања. До 1900. године, целокупно математичко знање могло је стати у осам књига. Данас би за то било потребно око 100.000 књига. Нису само наставиле да се развијају познате гране, као што су геометрија и диференцијални и интегрални рачун, већ је никло и много нових.

На почетку века, математика се састојала од око дванаест области: аритметике, геометрије, диференцијалног и интегралног рачуна и тако даље. Данас постоји између шездесет и седамдесет различитих области. Неке од њих, на пример алгебра и топологија, поделиле су се на подврсте; друге, као што су теорија комплексности или теорија динамичких система, потпуно су нове.

Наука која проучава законитости уреди

С обзиром на оволику разноликост, како данашњи математичари одговарају на питање: „Шта је математика?" Најчешћи одговор гласи да је математика наука која проучава законитости. Законитости које проучавају математичари могу бити реалне или имагинарне, визуелне или менталне, статичне или динамичне, квалитативне или квантитативне, корисне или рекреативне.

Оне потичу из света који нас окружује, из дубина простора и времена и из људског ума. Различите математичке гране изучавају различите врсте законитости. На пример, теорија бројева проучава (а аритметика користи) законитости које важе међу бројевима и у рачунању; геометрија проучава законитости везане за облик; диференцијални и интегрални рачун омогућава нам да савладамо законитости које важе за кретање; логика изучава законитости у расуђивању; теорија вероватноће бави се законима случајности; топологија проучава законе раздаљине и позиције.

Пошто су ове законитости, највећим делом, веома апстрактне, њихов опис и проучавање захтевају апстрактну нотацију. На пример, симболи који се користе у алгебри најподеснија су средства за описивање општих закона сабирања и множења. Комутативни закон сабирања може се записати помоћу језика:

Када се промене места сабирака, збир остаје исти.

Ипак, много је једноставније написати: m + n = n + m

Сложеност и апстрактност већине математичких законитости чини све, сем симболичког означавања, сувише компликованим за употребу.

Алгебарске ознаке у математици вероватно је први користио Диофант, који је живео у Александрији око 250. године нове ере. У својој расправи „Аритметика", која се сматра првим „уџбеником из алгебре", Диофант је користио посебне симболе за обележавање непознате у једначини и њено степеновање, као и симболе за одузимање и једнакост.

Савремене математичке књиге препуне су симбола, међутим, математичке ознаке су математика онолико колико су музичке ноте музика. Папир с нотама представља музичко дело, али ноте и музика нису исто; музика се добија када се ноте с папира отпевају или одсвирају на музичком инструменту. Оно што оживљава музику јесте њено извођење; она не постоји на папиру, већ у нашим мислима. Исто је с математиком. Када их чита компетентни изводач (неко ко се разуме у математику), симболи на папиру оживљавају - математика живи и дише као нека апстрактна симфонија у читаочевом уму.

Иако само неко ко се добро разуме у музику уме да чита ноте и чује музику у својој глави, за уживање у музици није потребна вежба. Али, једини начин да разумемо математику јесте да научимо како се „читају" симболи. Мада структура и законитости математике одјекују у људском уму као и структура и законитости музике, људска бића не поседују математички еквивалент за уши. Математика се може „видети" само „очима ума". То је као кад бисмо музичке облике и хармоније могли схватити само читањем нота.

Многим људима су апстрактне математичке ознаке застрашујућа препрека у разумевању математике. (Каже се да свака једначина коју аутор помене у научнопопуларној књизи преполовљава њену продају.) Али, без алгебарских симбола већи део математике не би ни постојао.

Ова проблематика је дубока и има везе са људском сазнајном способношћу. Препознавање апстрактног појма и развијање одговарајућег језика представљају две стране истог новчића. Коришћење симбола као што су слово, реч или слика, да би се означио апстрактни ентитет, подразумева препознавање тог ентитета. Да бисмо употребили цифру 7 за обележавање броја 7, морамо препознати број 7 као ентитет; да бисмо употребили слово м за обележавање произвољног целог броја, морамо познавати појам целог броја. Симболи нам омогућавају да размишљамо о појмовима и манипулишемо њима.

Шта је потребно за стварање математичког ума? уреди

Многобројне менталне особине утичу на способност за бављење математиком (од којих многе зависе једне од других). Оне се комбинују на различите начине.

Осећај за број. ~ Људи, као и још неколико других врста, поседују осећај за бројност. Ми препознајемо разлику између једног предмета, групе од два предмета и групе од три предмета. Такође, увиђамо да група од три предмета има више чланова него група од два предмета. Овај осећај није нешто што смо научили; с њим смо рођени.

Способност бројања. - Осећај за број, способност да се разликују и упоређују мали скупови, не захтева познавање појма броја као апстрактног ентитета, нити умеће бројања. Бројеви и бројање се уче (иако постоје неки докази да је бројање у основи инстинктивно). Уз одреден напор, шимпанзе и човеколики мајмуни могу научити да броје до 10. Али, колико је познато, само су људи способни да наставе бројање у бесконачност и изброје произвољно велике групе предмета.

Способност за употребу алгоритма. - Алгоритам је утврђени низ корака који води до одређеног циља - математички еквивалент за рецепт за колач. Бављење аритметиком захтева способност да се науче различити низови операција са бројевима. Друге математичке области захтевају примену алгоритама на друге врсте ентитета. На пример, решавање квадратне једначине подразумева употребу алгоритма алгебарских операција.

Ове три особине највише доприносе способности за бављење аритметиком. Ипак, особе које су добре у аритметици често користе и додатне особине.

Све остале особине у мањој или већој мери доприносе математичкој способности (као нечему што је различито од способности за аритметику).

Способност апстракције. - Ограничена могућност апстракције представља највећу препреку за бављење математиком. Опет, мозак је ту способност стекао истовремено кад и способност за језик, коју свако поседује. Стога, разлог због ког многи људи имају проблема с математиком није недостатак способности, већ то што не умеју да је примене на математичку апстракцију.

Осећај за узрок и последицу. - Као и многе друге врсте, људи су овај осећај стекли веома рано. Његова важност за опстанак је очигледна.

Способност образовања и праћења каузалног ланца чињеница или догађаја. - Способност да образују и прате веома дуге каузалне ланце јединствена је за људе. Наши преци усвојили су ову способност истовремено са језиком. Доказ (теореме) који математичар изводи јесте високо апстрактна верзија узрочног ланца чињеница.

Способност логичког расуђивања. - Ово је способност образовања и праћења поступног логичког доказа. У блиској је вези са претходно наведеном способношћу, и од кључне је важности за математику.

Способност расуђивања о везама. - Велики део математике бави се везама између (апстрактних) објеката. Способност расуђивања о везама између математичких објеката не разликује се од расуђивања о везама између материјалних објеката или о међуљудским везама. С обзиром на то да се највећи број нас свакодневно упушта у оваква расуђивања, поново се поставља питање зашто толиком броју људи представља проблем да расуђује о математичким објектима.

Способност резоновања о простору. - Способност резоновања о простору код многих врста је од кључне важности за опстанак. Ова способност, која пружа основу за схватање геометрије, може се користити и за расуђивање о областима за које простор, на први поглед, није од велике важности. У ствари, велики број важних открића више математике потиче од тога што су математичари пронашли необичне начине посматрања проблема, узимајући у обзир простор. (Доказ Фермијеве последње теореме из 1994. изведен је на овај начин.)

Ово су, значи, менталне способности чија нам комбинација омогућава да се бавимо математиком. Наше трагање за пореклом математичке способности своди се у великој мери на испитивање порекла сваке од ових способности. Оквир за ту потрагу јесте људска еволуција. Свака од наведених способности троши енергију мозга. (Неке односе и друге губитке.) Стога оне морају да пруже неку предност за опстанак и тако надокнаде трошак. У неким случајевима - на пример, код резоновања о простору или код осећаја за узрок и последицу - добит је очигледна. Остали случајеви захтевају дубљу анализу.

  • Литература:

Кит Девлин: Математички ген