Кошијева теорема о средњој вредности

Кошијева теорема је теорема средње вредности, и представља уопштење Лагранжове теореме. Названа је по математичару Огистену Лују Кошију.

ФормулацијаУреди

Кошијева теорема се прецизно формулише на следећи начин:

Ако су функције   и  :

  • непрекидне на затвореном интервалу   ,
  • диференцијабилне на отвореном интервалу  , и
  •  

тада постоји тачка  , за коју важи  

ДоказУреди

Дефинишимо функцију:

 

Како је функција   непрекидна и диференцијаблна на интервалу  , односно  , и функција   је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више,  , што значи да на функцију   можемо применити Ролову теорему.

 

Из претходног објашњења следи

 ,

а одавде следи и тврђење теореме:

 

НапоменеУреди

  • Кошијева теорема је уопштење Лагранжове теореме, јер за   добијамо тврђење управо те теореме.

Види јошУреди