Лагерови полиноми

Лагерови полиноми представљају решења Лагерове диференцијалне једначине:

Придружени Лагерови полиноми представљају решења од:

По први пут дефинисао их је француски математичар Едмон Лагер. Користе се и у квантној механици као решења радијалнога дела Шредингерове једначине једноелектронскога атома.

Првих шест Лагерових полинома

Родригезова формула и полиномиУреди

Лагерови полиноми обично се означавају као L0L1, ..., а полиномни низ може да се дефинише Родригезовом формулом:

 

Првих неколико полинома:

n  
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  

Генерирајућа функција Лагерових полинома је:

 .

Рекурзивне релацијеУреди

 
Едмон Лагер

Лагерови полиноми могу да се дефинишу рекурзивно уз помоћ прва два полинома која су:

 
 

а рекурзивна релација је:

 

Рекурзивна релација за изводе је:

 

Генерализирани Лагерови полиномиУреди

Генерализирани Лагерови полиноми или придружени Лагерови полиноми   представљају решења диференцијалне једаначине:

 

Родригезова формула за генерализиране полиноме је:

 

Веза обичних и генерализираних Лагерових полинома је:

 .

Обични Лагерови полиноми еквивалентни су генерализиранима полиномима ако је α = 0:

 

Неколико првих генерализираних Легерових полинома:

 
 
 
 

ОртогоналностУреди

Придружени Лагерови полиноми ортогонални су у односу на тежинску функцију  :

 

Веза са Ермитовим полиномимаУреди

Генерализирани лагерови полиноми повезани су са Ермитовим полиномима следећим релацијама:

 

и

 

где су   Ермитови полиноми.

ЛитератураУреди

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720