Лежандрови полиноми

Лежандрови полиноми $P_{n}(x)$ представљају решења Лежандрове диференцијалне једначине:

${d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.$

Назив су добили по француском математичару Адријену-Мари Лежандру. Лежандрова диференцијална једначина често се сусреће у техници и физици, а посебно приликом решавања Лапласове једначине у сферном координатном систему.

Својства и полиноми

Генерирајућа формула за Лежандрове полиноме је:

${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\qquad (1)$

Лежандрови полиноми могу да се дефинишу и Родригезовом формулом:

$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].$

Експлицитни развој полинома је:

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}=2^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}x^{k}{n \choose k}{{\frac {n+k-1}{2}} \choose n},$

Првих неколико полинома је:

Првих 6 Лежандрових полинома

• $P_{0}(x)=1;\,$
• $P_{1}(x)=x;\,$
• $P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1);$
• $P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x);$
• $P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3);$
• $P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x);$
• $P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5);$
• $P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x);$
• $P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35);$
• $P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x);$
• $P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63).$

Рекурзије

Развојем формуле (1) за n=0 и n=1 добија се за прва два полинома:

$P_{0}(x)=1,\quad P_{1}(x)=x$

Изводом формуле (1) добија се:

${\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=(1-2xt+t^{2})\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}.$

а одатле се добија рекурзивна релација:

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x).\,$

Ортогоналност

Лежандрови полиноми су ортогонални:

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}$

где је δ_mn Кронекерова делта функција.

Друга својства

Лежандрови полиноми су симетрични или антисиметрични, зависно од n:

$P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,$

Полиноми могу и да се представе преко поларнога угла:

$P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}$

Постоји и рекурзивна релација, која укључује изводе:

$(2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].$

Примена Лежандрових полинома у физици

Адријен-Мари Лежандр је први увео Лежандрове полиноме 1782. као коефицијенте развоја Њутновога гравитационога потенцијала, тако да је развио:

${\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )$

где су $r$ и $r'$ дужине вектора $\mathbf {x}$ и $\mathbf {x} ^{\prime }$, а $\gamma$ је угао између та два вектора. Тај ред конвергира када је $r>r'$. Лежандрови полиноми појављују се и приликом решавања Лапласове једначине $\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )=0$ односно приликом решавања потенцијала у простору без наелектрисања.

За потенцијал добија се:

$\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).$

Придружени Лежандрови полиноми

Поред обичних Лежандрових полинома поостоје и придружени Лежандрови полиноми $P_{\ell }^{m}(x)$, који представљају решења опште Лежандрове диференцијалне једначине:

$(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$

Придружени Лежандрови полиноми $P_{\ell }^{m}(x)$ повезани су са обичним Лежандровим полиномима $P_{\ell }(x)$ следећом релацијом:

$P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}\ (1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)\,$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Лежандрови полиноми