Лежандрови полиноми

Лежандрови полиноми представљају решења Лежандрове диференцијалне једначине:

Назив су добили по француском математичару Адријену-Мари Лежандру. Лежандрова диференцијална једначина често се сусреће у техници и физици, а посебно приликом решавања Лапласове једначине у сферном координатном систему.

Својства и полиномиУреди

Генерирајућа формула за Лежандрове полиноме је:

 

Лежандрови полиноми могу да се дефинишу и Родригезовом формулом:

 

Експлицитни развој полинома је:

 

Првих неколико полинома је:

 
Првих 6 Лежандрових полинома
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

РекурзијеУреди

Развојем формуле (1) за n=0 и n=1 добија се за прва два полинома:

 

Изводом формуле (1) добија се:

 

а одатле се добија рекурзивна релација:

 

ОртогоналностУреди

Лежандрови полиноми су ортогонални:

 

где је δmn Кронекерова делта функција.

Друга својстваУреди

Лежандрови полиноми су симетрични или антисиметрични, зависно од n:

 

Полиноми могу и да се представе преко поларнога угла:

 

Постоји и рекурзивна релација, која укључује изводе:

 

Примена Лежандрових полинома у физициУреди

Адријен-Мари Лежандр је први увео Лежандрове полиноме 1782. као коефицијенте развоја Њутновога гравитационога потенцијала, тако да је развио:

 

где су   и   дужине вектора   и  , а   је угао између та два вектора. Тај ред конвергира када је  . Лежандрови полиноми појављују се и приликом решавања Лапласове једначине   односно приликом решавања потенцијала у простору без наелектрисања.

За потенцијал добија се:

 

Придружени Лежандрови полиномиУреди

Поред обичних Лежандрових полинома поостоје и придружени Лежандрови полиноми  , који представљају решења опште Лежандрове диференцијалне једначине:

 

Придружени Лежандрови полиноми   повезани су са обичним Лежандровим полиномима   следећом релацијом:

 

ЛитератураУреди