Непрекидна Фуријеова трансформација

Непрекидна фуријеова трансформација је линеарна математичка операција пресликавања функције у функцију, која нам омогућава да разделимо непрекидне, непериодичне функције (на пример сигнале) у непрекидан спектар. Ова трансформација се често назива скраћено Фуријеова трансформација.

Дефинисана је за неку функцију f(t) на следећи начин:

а трансформација у обрнутом смеру је инверзна Фуријеова трансформација (Фуријеова синтеза) и гласи

Примена ове трансформације је кључна у многим областима технике где се проучава простирање осцилација или зрачења које су функција промене амплитуде неке величине (веома често електричног сигнала) у зависности од времена. Тада Фуријеова трансформација представља амплитуде које су функција фреквенција, значи, свакој фреквенцији () додељује се амплитуда из реалног домена.

Фуријеова трансформација и диференцијалне једначинеУреди

Путем Фуријеове трансформације ми прво претварамо линеарне диференцијалне једначине у „обичне“ линеарне једначине, у том простору их решавамо и на крају решења трансформишемо назад у простор одакле смо и кренули.

Посматрамо периодичне функције. Оне су у ствари елементи једног векторског простора. Унутрашњи производ две функције је тада овако дефинисан:  

Као што су то у уобичајеном тродимензионалном простору     и  , и у овом простору са функцијама имамо неке базе. Док у   имамо само три димензије и три базна вектора који у потпуности дефинишу простор, у простору са функцијама је то бесконачан број, тј. број димензија (и тиме базних вектора) је бесконачан.

Назовимо тај простор  , а његове базе  . Онда сваку функцију можемо да раставимо:

 

  су коефицијенти који дефинишу дату функцију, што значи да трансформацију можемо да обрнемо и вратимо је у првобитни простор (илити облик). Цео процес, трансформацију, треба замислити као капију два паралелна простора. Када прођемо кроз капију, налазимо се у простору где ствари из првобитног простора изгледају другачије (а некад имају и другачије особине), али ипак представљају једне те исте ствари. То управо овде радимо. Нашу функцију шаљемо кроз капију, у другом простору је обрађујемо јер нам је тако згодније, а онда је тако обрађену шаљемо кроз неку другу капију да нам се врати у облику у којем можемо даље да је користимо у „свакодневном животу“.

Вратимо се Фуријеовој трансформацији. Претходно смо је означили као   што ће у поласку бити наша прва капија.

Погледајмо шта се дешава са изводом:

 
 
 

Станимо на овом колосеку и кренимо из једног другог смера:

 

Онда је инверзна функција:

 

На крају закључимо:

 
 

Хајде да погледамо како још Фуријеова трансформација реагује на збир две функције:

 
 
 

У рукама нам је сав алат неопходан да се посветимо диференцијалним једначинама.

Фуријеова трансформација као алат за решавање једначине топлотног проводаУреди

Узмимо да имамо неки прстен обима L и да нас интересује распоред температуре током времена. Добијамо проблем:

 
 
  је распоред температуре у том прстену,   је нека позитивна константа, а   је функција која дефинише распоред температуре на самом почетку ( ).

  трансформишемо помоћу Фуријеове трансформације:

 

Правимо парцијални извод функције   мењајући места и изводећи унутар интеграла:

 
 
 

Трансформишимо и другу једначину (наш полазни услов):

 

Сада наша диференцијална једначина постаје:

 
 

То је сада постала уобичајена диференцијална једначина, коју можемо да решимо на стандардан начин:

 

Одатле можемо да дођемо до нашег решења за   путем инверзне Фуријеове трансформације, а   добијамо тако што трансформишемо  :

 
 

Да би израз мало појаснили и разговетније написали, уводимо корен топлотног провода:

 

  не би требало да нас збуњује. Није реч о изводу или нечему сличном, већ је   просто једна друга променљива која такође означава положај. Када убацимо корен топлотног провода у нашу  :

 

У прстену обима L важи тада:

 

Конкретан примерУреди

Имамо два дужа штапа. Један има температуру  , а други  . За време   су раздвојени и задржавају константно своју температуру, а у тренутку   их спајамо. Интересује нас како ће се температура распоредити. Нулту тачку постављамо у тачку где се та два штапа спајају.

Из датог изводимо полазну функцију  :

 

Из поставе проблема знамо да мора да важи:

 
 

Наш циљ је да израчунамо  :

 
 
 
 

При интегрисању смо се послужили супституцијом   односно  .

У овом конкретном примеру је важило  , али када желимо да уопштимо формулу, довољно је за полазну тачку узети аритметичку средину двеју температура и мало претумбати крајњу функцију:

 

Види јошУреди