Парност функције
У математици, парне функције и непарне функције су математичке функције које задовољавају одређене релације симетричности. Важне су у математичкој анализи, посебни у теорији степених редова и Фуријеових редова. Назване су по парности степена њихових степених редова који задовољавају сваки од услова: функција xn је парна функција ако је n паран цео број, а непарна је функција ако је n непаран цео број.
Парне функције
уредиНека је f(x) реална функција реалне променљиве. Онда је f парна функција ако следеће једначине важе за свако x у домену функције f:
- .
Геометријски, парна функција је симетрична у односу на y осу, што значи да график функције остаје непромењен после рефлексије око y осе.
Примери парних функција су апсолутна вредност, x2, x4, cos(x), и cosh(x).
Непарне функције
уредиПоново, нека је f(x) реална функција реалне променљиве. Онда је f непарна функција ако следеће једначине важе за свако x у домену функције f:
- .
Геометријски, непарна функција је симетрична у односу на координатни почетак, што значи да график функције остаје непромењен после координатне ротације за 180 степени око координатног почетка.
Неке чињенице
уредиНапомена: парност функције не имплицира диференцијабилност, нити чак непрекидност функције. Својства која укључују Фуријеове редове, Тејлорове редове, изводе итд. могу се користити само ако се претпостави да они постоје.
Основна својства
уреди- Једина функција која је у исто време и парна и непарна је константна функција једнака нули (тј. f(x) = 0 за свако x).
- Збир парне и непарне функције није ни парна ни непарна функција, осим ако једна од те две функције није једнака нули.
- Збир две парне функције је парна функција, и резултат сваког множења парне функције константом је такође парна функција.
- Збир две непарне функције је такође непарна функција, и резултат сваког множења непарне функције константом је непарна функција.
- Производ две парне функције је парна функција.
- Производ две непарне функције је парна функција.
- Производ парне и непарне функције је непарна функција.
- Количник дељења две парне функције је парна функција.
- Количник дељења две непарне функције је парна функција.
- Количник дељења парне функције и непарне функције је непарна функција.
- Извод парне функције је непарна функција.
- Извод непарне функције је парна функција.
- Композиција две парне функције је парна, а композиција две непарне функције је непарна функција.
- Композиција парне и непарне функције је парна функција.
- Композиција било које функције са парном функцијом је парна функција (али не важи обратно).
- Интеграл непарне функције од -A до +A је нула (где је A коначно, а функција нема вертикалних асимптота између -A и A).
- Интеграл парне функције од -A до +A је двоструко већи од интеграла од 0 до +A (где је A коначно, а функција нема вертикалних асимптота између -A и A).
Редови
уреди- Меклоренов ред парне функције укључује само парне степене.
- Меклоренов ред непарне функције укључује само непарне степене.
- Фуријеов ред периодичне парне функције укључује само косинусне чланове.
- Фуријеов ред периодичне непарне функције укључује само синусне чланове.
Алгебарске структуре
уреди- Свака линеарна комбинација парних функција је такође парна функција, и парне функције формирају векторски простор над реалним бројевима. Исто тако, линеарна комбинација непарних функција формира векторски простор над реалним бројевима. У ствари, векторски простор свих реалних функција је директна сума линеарних подпростора парних и непарних функција. Другим речима, свака функција се може јединствено написати као сума парне и непарне функције:
- Парне функције формирају К-алгебру над реалним бројевима. С друге стране, непарне функције не формирају К-алгебру над реалним бројевима.
Види још
уреди- Хермитијан функција за генерализацију над комплексним бројевима
- Тејлоров ред
- Фуријеов ред