Поинтингов вектор

Поинтингов вектор у електромагнетизму је вектор који се добија из Поинтингове теореме о одржању енергије у електромагнетном пољу и има значење трансферзалног протока енергије у односу на раван сачињену од временски променљивог електричног и магнетног поља.

Зрачење електричног дипола постављеног дуж вертикалне осе у приказаној равни који осцилује дуж те осе фреквенцијом 1 Hz. Јачина електричног поља дипола у равни $E={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{z}^{2}}}$ је представљена бојом (црвена боја означава $E_{z}>0$ , а плава означава $E_{z}<0$ ). Линије магнетног поља су ортогоналне на приказану раван. Компоненте Поинтинговог вектора $S_{x}$ и $S_{z}$ су приказане црним стрелицама.

Поинтингов вектор $\mathbf {S}$ је:

$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

где је $\mathbf {E}$ јачина електричног поља, а $\mathbf {H}$ јачина магнетног поља.

Поинтингова теорема уреди

Поинтингов вектор изражен у облику преко јачине електричног и јачине магнетног поља се добија из Поинтингове теореме.

Енергетски флукс уреди

Укупан флукс енергије кроз дату запремину $V$ је површински интеграл:

$\iint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A}$

који се преко Гаусове теореме о дивергенцији може записати преко запреминског интеграла:

$\iint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {S} dV$

Одавде је густина енергетског флукса:

$\nabla \cdot \mathbf {S}$

Промена густине електромагнетне енергије у времену уреди

Густина електромагнетне енергије је:

$u=\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$

где су $\mathbf {D}$ електрична индукција, а $\mathbf {B}$ магнетна индукција:

\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}

Налажењем временског извода густине електромагненте енергије $u$ , добија се:

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {D} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\right)=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

Како би се десна страна израза преписала преко само јачине електричног поља $\mathbf {E}$ и јачина магнетног поља $\mathbf {H}$ , могу се користити Максвелове једначине и тиме се магнетна индукција $\mathbf {B}$ може изразити преко $\mathbf {E}$ :

${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} \ \rightarrow \ \mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E}$

а електрична индукција $\mathbf {D}$ преко $\mathbf {H}$ :

${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} \ \rightarrow \ \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H}$

Одавде се добија да израз за промену густине електромагнетног поља у времену:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$

где је $\mathbf {J}$ густина струје.^[1]

Одржање енергије уреди

У произвољној запремини простора $V$ , на основу закона о одржању енергије, збир промене густине електромагнетне енергије у јединици времена ${\frac {\partial u}{\partial t}}$ и густине енергетског флукса који протекне кроз ту запремину $\nabla \cdot \mathbf {S}$ , једнак је негативном раду у јединици времена на премештању слободних и споља унетих наелектрисања у тај простор $\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$ , тако да важи:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} }=-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$

Одавде се добија да је:

${\begin{aligned}-\nabla \cdot \mathbf {S} &={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} \\\end{aligned}}$