Википедија

Тополошки простор — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
м уклоњена категорија Тополошки простори помоћу справице HotCat
Нема описа измене
Ред 1:
[[Датотека:Topological space examples.svg|оквир|десно|300п|Четири примера и два контрапримера топологија над скупом од три тачке, {1, 2, 3}. Доњи десни пример није топологија јер недостаје {2,3}, унија {2} и {3}; доњи десни пример није топологија јер недостаје {2} пресек {1,2} и {2,3}.]]▼
'''Тополошки простори''' су математичке структуре које омогућавају формалну дефиницију појмова као што су [[конвергенција]], [[повезан простор|повезаност]] и [[непрекидност]]. Они се јављају у практично свим гранама модерне [[математика|математике]]. Грана математике која проучава саме тополошке просторе се назива [[топологија]].
 
Линија 5 ⟶ 4:
'''Тополошки простор''' је уређени пар [[скуп (математика)|скупа]] ''-{X}-'' и колекцијом [[подскуп]]ова од ''-{X}-'' (подскуп [[Партитивни скуп|партитивног скупа]] ''-{X}-'') у ознаци ''<math>\tau</math>'', који задовољавају следеће особине:
# [[празан скуп]] и ''-{X}-'' налазе се у ''<math>\tau</math>''.
# [[унија (теорија скупова)|унија]] свих колекција скупова из ''<math>\tau</math>'' је такође скуп у ''<math>\tau</math>''.
# [[пресек (теорија скупова)|пресек]] сваке коначне колекције скупова из ''<math>\tau</math>'' је такође у ''<math>\tau</math>''.
 
Линија 14 ⟶ 13:
Покривач скупа ''-{X}-'' је скуп подскупова у ''-{X}-'' такав да њихова унија даје цео скуп ''-{X}-''. Покривач скупа је отворен, ако се састоји од отворених скупова.<ref>[http://www.ff.bg.ac.rs/Katedre/QMF/pdf/y2k.pdf Хилбертови простори и групе, Милан Дамњановић], приступљено: 17.10.2014.</ref>
 
[[околина (топологија)|околинаОколина]] тачке ''-{x}-'' је сваки скуп који садржи отворен скуп којиу садржикојем се налази ''-{x}-''. ''Систем околине'' на ''-{x}-'' се састоји од свих околина од ''-{x}-''. Топологију може да одреди скуп аксиома које се тичу свих система околина.▼
=== Специјални тополошки простори ===▼
 
▲[[Датотека:Topological space examples.svg|оквир|десно|300п200п|Четири примера и два контрапримера топологија над скупом од три тачке, {1, 2, 3}. Доњи десни пример није топологија јер недостаје {2,3}, унија {2} и {3}; доњи десни пример није топологија јер недостаје {2} пресек {1,2} и {2,3}.]]
* [[Тривијална топологија]] је топологија коју чине само произвољан скуп ''-{X}-'' и колекција ''<math>\tau</math>'' = {<math>\emptyset</math>, ''-{X}-''} која се састоји од само два обавезна подскупа који морају да је чине по дефиницији тополошког простора, од празног и целог скупа.▼
 
▲===* Специјални тополошки простори ===у зависности од топологије ''<math>\tau</math>'':
* [[Дискретна топологија]] је топологија која се састоји од произвољног скупа ''-{X}-'' и колекције ''<math>\tau</math>''= -{''P''(''X'')}-, која је највећи могући подскуп партитивног скупа од ''-{X}-'', тј. овде је топологија цео [[партитивни скуп]] од ''-{X}-''.▼
 
▲*# [[Тривијална топологија]] је топологија коју чине само произвољан скуп ''-{X}-'' и колекција ''<math>\tau</math>'' = {<math>\emptyset</math>, ''-{X}-''} која се састоји од само два обавезна подскупа који морају да је чине по дефиницији тополошког простора, од празног и целог скупа.
* Код бесконачних скупова, када је нпр. ''-{X}-'' = <math> \mathit{Z} </math> и колекција ''<math>\tau</math>'' је једнака унији свих коначних подскупова целих бројева и целог скупа <math> \mathit{Z} </math>, овако формирани уређени пар није тополошки простор, јер ''<math>\tau</math>'' ''није'' топологија, пошто постоје бесконачни скупови елемената из ''-{Х}-'' који се не налазе у ''<math>\tau</math>''.▼
▲*# [[Дискретна топологија]] је топологија која се састоји од произвољног скупа ''-{X}-'' и колекције ''<math>\tau</math>''= -{''P''(''X'')}-, која је највећи могући подскуп партитивног скупа од ''-{X}-'', тј. овде је топологија цео [[партитивни скуп]] од ''-{X}-''.
▲*# Код бесконачних скупова, када је нпр. ''-{X}-'' = <math> \mathit{Z} </math> и колекција ''<math>\tau</math>'' је једнака унији свих коначних подскупова целих бројева и целог скупа <math> \mathit{Z} </math>, овако формирани уређени пар није тополошки простор, јер ''<math>\tau</math>'' ''није'' топологија, пошто постоје бесконачни скупови елемената из ''-{Х}-'' који се не налазе у ''<math>\tau</math>''.
 
=== Еквивалентне дефиниције ===
 
Осим наведене дефиниције, еквивалентни тополошки простор се може дефинисати и преко затворених скупова:
Постоји још много еквивалентних начина да се дефинише тополошки простор. (Другим речима, свака од следећих дефиниција дефинише [[теорија категорија|категорију]] еквивалентну категорији тополошких простора која је дата горе.) На пример, користећи [[де Морганови закони|де Морганове законе]], аксиоме које дефинишу отворене скупове постају аксиоме које дефинишу затворене скупове:
# Празан скуп и ''-{X}-'' су затворени.▼
# Пресек сваке колекције затворених скупова је такође затворен.▼
# Унија сваког пара затворених скупова је такође затворена.▼
 
КоришћењемТополошки овихпростор аксиома,је другиуређени начинпар за дефинисање тополошког простора је као скупскупа ''-{X}-'' заједно саи колекцијомколекције ''<math>\tau</math>'' подскупова од ''-{X}-'' који задовољавају следеће аксиоме:
# Празан скуп и ''-{X}-'' су у ''<math>\tau</math>''.
# Пресек сваке колекције скупова из ''<math>\tau</math>'' је такође у ''<math>\tau</math>''.
# Унија сваког пара скупова из ''<math>\tau</math>'' је такође у ''<math>\tau</math>''.
 
Еквивалентност дефиниција тополошког простора преко отворених и затворених скупова се добија преко [[де Морганови закони|де Морганових закона]], када аксиоме које дефинишу отворене скупове постају аксиоме које дефинишу затворене скупове:
По овој дефиницији, скупови у топологији ''<math>\tau</math>'' су затворени скупови, а њихови комплементи у ''-{X}-'' су отворени скупови.▼
▲# Празан скуп и ''-{X}-'' су затворени.
▲# [[Пресек]] сваке колекције [[затворени скуп|затворених скупова]] је такође затворен.
▲# [[Унија]] сваког пара затворених скупова је такође затворена.
 
▲По овој дефиницији тополошког простора, скупови у топологији ''<math>\tau</math>'' су затворени скупови, а њихови комплементи у ''-{X}-'' су отворени скупови.
 
Још један начин за дефинисање тополошког простора је коришћењем [[аксиоме затворености Куратовског|аксиома затворености Куратовског]], које дефинишу затворене скупове као фиксне тачке оператора над [[партитивни скуп|партитивним скупом]] од <var>X</var>.
 
▲[[околина (топологија)|околина]] тачке ''-{x}-'' је сваки скуп који садржи отворен скуп који садржи ''-{x}-''. ''Систем околине'' на ''-{x}-'' се састоји од свих околина од ''-{x}-''. Топологију може да одреди скуп аксиома које се тичу свих система околина.
 
== Поређење топологија ==
 
{{главни чланак|Поређење топологија}}
Над истим скупом може постојати више [[топологија]] ''<math>\tau</math>'' тако да граде различите тополошке просторе.
Више топологија може да постоји над скупом тако да граде тополошки простор. Када је сваки скуп из топологије ''<math>\tau_1</math>'' истовремено у топологији ''<math>\tau_2</math>'', каже се да је ''<math>\tau_2</math>'' ''финија'' од ''<math>\tau_1</math>'', а да је ''<math>\tau_1</math>'' ''грубља'' од ''<math>\tau_2</math>''. Доказ који се ослања само на постојање одређених отворених скупова ће уједно важити и на финијој топологији, и слично, доказ који се ослања само на то да одређени скупови нису отворени ће важити и на свакој грубљој топологији. Термини ''већа'' и ''мања'' се понекад користе узмеђу финија и грубља (тим редом). Термини ''јача'' и ''слабија'' се такође понекад користе у литератури али са различитим значењима, па у овом случају увек треба да се води рачуна о конвенцији коју је аутор користио.
 
Топологија ''<math>\tau_1</math>'' је ''грубља'' (већа) од ''<math>\tau_2</math>'', односно, топологија ''<math>\tau_2</math>'' је ''финија'' (мања) од топологије ''<math>\tau_1</math>'' ако важи да је сваки скуп из топологије ''<math>\tau_1</math>'' истовремено садржан у топологији ''<math>\tau_2</math>''. Овакво поређење топологија се записује: ''<math>\tau_1</math>'' > ''<math>\tau_2</math>''.
 
Доказ који се ослања само на постојање одређених [[отворени скуп|отворених скупова]] ће уједно важити и на финијој топологији, и слично, доказ који се ослања само на то да одређени скупови нису отворени ће важити и на свакој грубљој топологији.
 
== Непрекидне функције ==
Линија 64 ⟶ 69:
== Литература ==
{{refbegin|2}}
* Armstrong, M. A.; ''Основна топологија'' (''Basic Topology''), Springer; 1stпрво editionиздање (May [[1. мај]], [[1997]]). ISBN 0-387-90839-0.
* Bredon, Glen E., ''Топологија и геометрија'' (''Topology and Geometry'') (GraduateТекстови Textsиз inматематике, постдипломске Mathematicsстудије), Springer; 1st edition (October[[17. 17,октобар]] [[1997]]). ISBN 0-387-97926-3.
* Bourbaki, Nicolas; ''Елементи математике: Општа топологија'' (''Elements of Mathematics: General Topology''), Addison-Wesley ([[1966]]).
* Čech, Eduard; ''Скупови тачака'' (''Point Sets''), Academic Press ([[1969]]).
* Fulton, William, ''Алгебарска топологија'' (''Algebraic Topology''), (GraduateТекстови Textsиз inматематике, Mathematicsпостдипломске студије), Springer; 1stпрво editionиздање (September [[5. септембар]], [[1997]]). ISBN 0-387-94327-7.
* Lipschutz, Seymour; ''Schaum's Outline of General Topology'', McGraw-Hill; 1stпрво editionиздање (June [[1. јун]], [[1968]]). ISBN 0-07-037988-2.
* Munkres, James; ''Топологија'' (''Topology''), Prentice Hall; 2ndдруго editionиздање (December [[28. децембар]], [[1999]]). ISBN 0-13-181629-2.
* Runde, Volker; ''Укус топологије (универзитетски текст)'' ''A Taste of Topology (Universitext)'', Springer; 1stпрво editionиздање (July [[6. јул]], [[2005]]). ISBN 0-387-25790-X.
* Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; ''Контрапримери у топологији'' (''Counterexamples in Topology''), Holt, Rinehart and Winston ([[1970]]). ISBN 0-03-079485-4.
* {{Cite book |ref= harv|last=Willard|first=Stephen| title=General Topology | publisher=Dover Publications | year=[[2004]] |id=ISBN 0-486-43479-6}}
{{refend}}
 
== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Topology}}
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=380 Тополошки простори] на сајту -{[[PlanetMath]]}-, приступљено: 17. октобар 2014.
 
[[Категорија:Топологија]]
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Тополошки_простор”