Природан број — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат
м Бот: исправљена преусмерења; козметичке измене
Ред 2:
'''Природни бројеви''' су сви цели бројеви већи од нуле. тј. ту спада било који број ''природног низа''.
 
[[Низ]] природних [[број (математика)|бројева]]ева је 1, 2, 3, .... Сви чланови низа природних бројева чине [[скуп]] природних бројева. Тај скуп означавамо са
: '''N'''={1,2,3,4..}, или <math> \mathbb{N}</math>. Скуп природних бројева је [[Бесконачност|бесконачан]] и [[пребројив скуп|пребројив]]. Када скупу природних бројева додамо нулу добијемо проширени скуп који означавамо са '''N<sub>0</sub>'''.
 
[[Сабирање|Збир]] и [[производ]] природних бројева је природан број, [[разлика]] и [[дељење|количник]] не морају бити. Кажемо да је природан број m дељив природним бројем n ако је количник m/n природан број, и тада пишемо n|m (чита се: m дели n). Природан број је, на пример:
* ''паран број'' {2, 4, 6, ..., 2''n'', ...} - дељив је са 2;
* ''непаран број'' {1, 3, 5, ..., 2''n''-1, ...} - није дељив са 2;
Ред 14:
== Основе теорије ==
 
Данас је у [[математика|математици]] питање природних [[број (математика)|бројева]]ева прилично замршено и нејединствено. На сасвим посебан начин природним бројевима приступају ''интуиционисти'', од ''конструктивиста'' (видети: A. Heyting, ''Intuitionism'', North Holland, Amsterdam, 1961). Затим постоје и неслагања око избора и обима моћи аксиома бројева, пре свега јер [[математичка логика]] има разнолика гледишта на питања [[скуп]]ова, а ови опет, различита гледишта по питању бројева. Међутим, кад се определимо, ако прихватимо да су скупови као математички објекти јединствено одређени, онда Пеанове аксиоме, до на [[Изоморфизам (математика)|изоморфизам]], опредељују природне бројеве.
 
=== Пеанове аксиоме ===
 
''Аксиоматско одређивање'' природних бројева нашао је [[Јулијус Вилхелм Рихард Дедекинд|Дедекинд]] 1888, а затим [[Ђузепе Пеано]] 1891. године. Описна, једноставнија верзија Пеанових аксиома је:
# 1 је природан број,
# Следбеник ма ког природног броја је природан број.
Ред 62:
=== Принципи ===
 
Уобичајено је у [[математика|математици]] прихватање [[скуп]]а природних бројева '''N''' са [[Операција (математика)|операцијаоперацијама]]ма плус "+" и пута ".", и [[релација (математика)|релацијама]] једнакости "=" и поретка, "<" односно "&le;", интуитивно јасним. Прихватамо такође да у скупу природних бројева важе следећи [[принцип]]и.
 
; Принцип доброг уређења: Сваки непразан скуп природних бројева има најмањи елеменат.
Ред 73:
: (2) ако су сви природни бројеви мањи од ''k''+1 у скуу S, онда је и број ''k''+1 у скупу S
: Онда је S = '''N'''.
Полазећи од [[Ђузепе Пеано|Пеанових]]вих аксиома може се доказати да су ''принцип доброг уређења'', ''принцип математичке индукције'' и ''други принцип математичке индукције'' еквивалентна тврђења, тј. ако претпоставимо да важи било који од њих, онда се друга два могу добити као последице. Пети [[Природан број#Пеанове аксиоме|пеанов аксиом]] је управо овде формулисани принцип математичке индукције.
; [[Архимед]]ов принцип: За свака два природна броја <math>a, n</math> постоји природан број <math>m</math> такав да је <math>am > n.</math>
 
Ред 83:
== Теорија бројева ==
 
[[Теорија бројева]] бави се углавном проучавањем особина [[целицео број|целих бројева]], а то се на крају своди на [[теорија|теорију]] природних [[број (математика)|бројева]]ева. Овде ће бити приказани само главни резултати онога што се у [[математика|математици]] назива ''Увод у теорију бројева'', са [[минимум]]ом [[доказ]]а који ће сви бити повезани линковима са осталим деловима Википедије. Докази су неопходни математици, али оптерећују текстове кругим корисницима Википедије, па су са општих тема „склоњени“ на мање звучна места ради компромиса.
 
=== Дељивост ===
 
[[Математичка операција|Операције]] [[сабирање|сабирања]] и [[множење|множења]] су неограничено изводљиве у скупу природних бројева '''N'''. Операција одузимања добије исту особину чим пређемо на скуп [[Целицео број|целих бројева]], који су само корак од овог, па остаје проблем дељења. И баш то питање [[дељивост]]и, тј. изводљивости операције дељења у скупу природних (и целих) бројева је у основи претежног дела теорије бројева.
 
=== Основна теорема аритметике ===
Ред 108:
=== Бројевни системи ===
 
Декадни [[систем бројева]] је један од најчешћих у општој употреби; има базу 10 и користи 10 цифара: 0,1,2,...,9. Други по учесталости употребе данас је [[бинарни систем|бинарни систем бројева]], основе 2, чије су једине цифре 0 и 1. Полазна теорема за градњу било којег таквог система бројева је следећа:
 
; Теорема 11: Сваки природан број <math>m\,</math> може се на јединствен начин представити у облику
Ред 114:
: где је природан број <math>b>1,\; 0<a<b,\; 0\le a_i<b,\; i=0,1,...,n-1.</math>
 
Базу бројевног система не пишемо када се подразумева. То је обично база 10 ([[декадни систем бројева]]), а ређе 2 (бинарни систем бројева). Систем бројева базе 16, [[хексадецимални систем|хексадецимални систем бројева]], за последње цифре 10 - 15, користи слова ABCDEF.
 
; Примери: <math>110101_2=1\cdot 2^5+1\cdot 2^4+0\cdot 2^3+ 1\cdot 2^2+0\cdot 2+1=53_{10},\,</math>
Ред 122:
: <math>baba_{12}=11\cdot 12^3+10\cdot 12^2+11\cdot 12+10=20590,</math>
: <math>1DCA9_{16}=1\cdot 16^4+15\cdot 16^3+14\cdot 16^2+11\cdot 16+9=130745</math>
 
 
 
 
[[Категорија:Број]]