Википедија

Дуалност по Понтрјагину — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
Нема описа измене
м Бот: исправљена преусмерења
Ред 2:
 
Дуалност по Понтрјагину поставља у јединствени контекст запажања о хармонијској анализи функција на [[реална права|реалној правој]] или коначним [[абелова група|абеловим групама]]:
*Свакој (подесно регуларној) [[периодичнапериодичност функцијафункције|периодичној функцији]] одговара низ Фуријеових коефицијената, чиме се ова функција разлаже на елементарне хармонијске компоненте. Обрнуто, сваком (подесном регуларном) низу Фуријеових коефицијената одговара периодична функција која се добија одговарајућом суперпозицијом елементарних хармоника. Полазна функција се може реконструисати из низа својих Фуријеових коефицијената као сума одговарајућег [[Фуријеов ред|Фуријеовог реда]]. Полазни низ коефицијената се може реконструисати из своје [[Фуријеова трансформација у дискретном времену|Фуријеове трансформације у дискретном времену]] њеним разлагањем на елементарне компоненте .
*Свакој (подесно регуларној) [[комплексан број|комплексној]] функцији на реалној правој одговара њена [[непрекидна Фуријеова трансформација]], која је такође комплексна функција на реалној правој. Полазна функција се може реконструисати из своје Фуријеове трансформације (као њена инверзна Фуријеова трансформација), и обрнуто.
*Свакој комплесној функцији на коначној абеловој групи одговара њена [[дискретна Фуријеова трансформација]], која је функција на [[#дуална група|дуалној групи]], која је и сама коначна абелова група, заправо (не-[[канонски]]) [[изоморфизам|изоморфна]] полазној групи. Полазна функција се може реконструисати из своје дискретне Фуријеове трансформације (као њена инверзна дискретна Фуријеова трансформација), и обрнуто.
 
У општем, свакој локално компактној абеловој групи -{''G''}- одговара друга локално компактна абелова група -{''G''^}-, њена '''дуална група''' (или '''Понтрјагинов дуал'''), при чему је дуална групе групе -{''G''^}- канонски изоморфна полазној групи -{''G''}-. Дуалност између простора функција на ''-{G}-'' и -{''G''^}- реализује се помоћу интеграције по [[мерахарова Харамера|мери Хара]].
 
Ова веома општа конструкција, коју је увео [[Русија|руски]] математичар [[Лав Понтрјагин|Лав Семјонович Понтрјагин]], игра важну улогу у апстрактној теорији Фуријеових трансформација (односно хармонијске анализе на општим просторима), структурној теорији локално компактних абелових тополошких група и [[теорија бројева|теорији бројева]].
 
== Дуална група ==
Ред 19:
Дуална група -{''G''^}- групе -{''G''}- јесте скуп свих (непрекидних унитарних) карактера групе -{''G''^}- у односу на операцију тачка-по-тачка множења:
:(''χ'' · ''ψ'') (''g'') := ''χ''(''g'')''ψ''(''g'').
-{''G''^}- чини абелову групу у односу на ову операцију; неутрални елемент је тривијални карактер -{''&chi;''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;1}-, инверзни елемент одговара [[комплексноконјугован конјуговањекомплексан број|комплексном конјуговању]]. На -{''G''^}- уводимо [[компактно-отворена топологија|компактно-отворену топологију]], односно топологију [[равномерна конвергенција|равномерне конвергенције]] на [[компактност|компактним]] скуповима; показује се да ова топологија чини -{''G''^}- локално компактном тополошком групом.
 
== Примери ==
Ред 43:
 
== Фуријеова трансформација ==
Дуалност између простора функција на -{''G''}- и -{''G''^}- остварује се путем Фуријеове трансформације, при чему се интеграција врши по [[мерахарова Харамера|мерама Хара]]. Дуална група локално компактне абелове групе -{''G''}- је и уведена као амбијентални простор за апстрактну хармонијску анализу на -{''G''}-.
 
Нека су -{''&mu;''}- и -{''&nu;''}- мере Хара на -{''G''}- и -{''G''^}-. Ако је -{''f''}- функција у [[Lp простори|-{''L''<sup>1</sup>(''G'')}-]], тада је њена Фуријеова трансформација функција -{''f''^}- на -{''G''^}- дата са
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Дуалност_по_Понтрјагину”