Функција расподеле — разлика између измена

нема резимеа измене
м (додана категорија Статистичка механика помоћу справице HotCat)
'''Функција расподеле''', '''функција дистрибуције''' или '''кумулативна расподела вероватноће''' је функција која се користи у [[теорија вероватноће|теорији вероватноће]]. Означава сеу саознаци -{F<sub>x</sub>}-. То је функција која за сваки реалан број ''-{x}-'', одређује вероватноћу да је [[случајна променљива]] -{X}- узела вредност мању од или једнаку ''-{x}-'':
 
:<math>x \to F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x),.</math>
 
ВероватноћаЗа даозначавање ''-{X}-''функције лежирасподеле на [[интервал (математика)|интервалу]] -{(''a'',&nbsp;''b''<nowiki>]</nowiki>}- је једнака ''-{F''(''b'')&nbsp;&minus;&nbsp;''F''(''a'')}- ако је -{''a''&nbsp;<&nbsp;''b}-''. Обичнообично се користи велико латинично слово ''-{F}-'' за означавање функције расподеле, за разлику од малог латиничног слова ''-{f}-'', које се користи за [[Расподела вероватноће|расподелу вероватноће]].
 
Кумулативна расподела вероватноће се може изразити и преко [[Расподела вероватноће|расподеле вероватноће]] ''-{f}-'' на следећи начин<ref>[http://www.mathos.unios.hr/uvis/Vjezbe/Materijali_2010_2011/uvis_201011_23.11.2010.pdf Функција дистрибуције], приступљено: 7. март 2015.</ref>:
 
:<math>F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.</math>
 
Вероватноћа да ''-{X}-'' лежи на [[интервал (математика)|интервалу]] -{(''a'',&nbsp;''b''<nowiki>]</nowiki>}- за -{''a''&nbsp;<&nbsp;''b}-'' је једнака ''-{F''(''b'')&nbsp;&minus;&nbsp;''F''(''a'')}-.
 
== Својства ==
[[Датотека:Discrete probability distribution illustration.png|десно|мини|Одозго на доле, функција расподеле дискретне случајне променљиве, непрекидне случајне променљиве, и случајне променљиве која има и непрекидне и дискретне делове.]]
Свака функција расподеле, ''-{F}-'' јеима монотоноследеће неопадајућа, и непрекидна здесна. Осим тога, важиособине:
 
* монотоно је неопадајућа
:<math>\lim_{x\to -\infty}F(x)=0, \quad \lim_{x\to +\infty}F(x)=1.</math>
* непрекидна је здесна
* <math>\lim_{x\to -\infty}F(x)=0</math>
:* <math>\lim_{x\to -\infty}F(x)=0, \quad \lim_{x\to +\infty}F(x)=1.</math>
 
=== Дискретне случајне променљиве ===
Свака функција која задовољава ова четири својства је функција расподеле.
 
Ако је ''-{X}-'' [[дискретна случајна променљива]], онда онакоја имаузима вредности ''-{x}-''<sub>1</sub>, ''-{x}-''<sub>2</sub>, ... са вероватноћама -{''p''<sub>i</sub> = P(''x''<sub>i</sub>)}-, а њена функција расподеле ће имати прекиде у тачкама -{''x''<sub>''i''</sub>}-, и бити константна између њих:
 
:<math>F(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i).</math>
 
=== Континуалне случајне променљиве ===
 
Ако је функција расподеле ''-{F}-'', случајне променљиве ''-{X}-'', [[непрекидна функција|непрекидна]], онда је ''-{X}-'' [[непрекидна случајна променљива]]; ако је осим тога, ''-{F}-'' [[апсолутна непрекидност|апсолутно непрекидна]], онда постоји [[Лебегов интеграл|Лебег-интеграбилна]] функција -{''f''(''x'')}-, таква да
 
за све реалне бројеве ''-{a}-'' и ''-{b}-''. (Прва од горње две једнакости не би била тачна у општем случају ако не би било назначено да је расподела непрекидна. Непрекидност расподеле имплицира да је -{P(''X'' = ''a'') = P(''X'' = ''b'') = 0}-, па разлика између < и ≤ у том контексту нема значаја.) Функција ''-{f}-'' је једнака [[извод]]у од ''-{F}-'' [[скоро свуда]], и назива се расподела вероватноће за случајну променљиву ''-{X}-''.
 
== Референце ==
{{reflist}}
 
[[Категорија:Теорија вероватноће]]