Косинусна теорема — разлика између измена

: <math>\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,</math>

где је ''C'' угао насупрот странице ''с'', тј. угао између страница ''a'' и ''b'' троугла.

где је ''а'' страна насупрот угла ''А'', страна ''b'' је насупрот угла ''B'', а страна ''с'' је насупрот угла ''С''.

 

Косинусна теорема има исту аналитичку форму независно од тога да ли је дати [[троугао]] оштроугли (сл.1) или тупоугли (сл.2). Међутим, обично се посебно доказује сваки од та два случаја, као што је урађено у доказу који следи.

; Косинусна теорема: У сваком троуглу је <math>\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,</math> где је насупрот странице ''a'' угао ''α''.

 

; Доказ: На слици десно (сл.1) дат је [[оштроугли троугао]] ABC са висином CD. Из правоуглих троуглова BCD и ACD према [[Питагорина теорема|Питагориној теореми]] је <math>a^2=h^2+(c-p)^2,\; h^2=b^2-p^2,</math> а отуда заменом добијамо прво <math>\ a^2=b^2+(c^2-2pc+p^2)-p^2,</math> а онда <math>\ a^2=b^2+c^2-2pc.</math> Из правоуглог троугла ACD добијамо <math>p=b\cos\alpha,\,</math> и заменом у претходну једнакост <math>\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,</math> што је и требало доказати.

Даље, на слици (2) лево, дат је [[тупоугли троугао]] ABC, са углом α у темену А, већим од правог угла (90°). Висина CD = h пада на продужетак странице AB у тачку D тако да је D-A-B, те је спољашњи угао CAD = 180°-α. У [[Троугао|троуглу]] CAD је

:: DA = <math>\ p = b \cos(180^o-\alpha)=-b\cos\alpha.</math>

 

; Теорема 4: У било којем [[Паралелограм|паралелограму]] збир квадрата [[дијагонала]] једнак је збиру квадрата све четири његове стране.

; Доказ: На слици (3) десно, дат је паралелограм ABCD са дијагоналама AC и BD и углом BAD = α.

: Тада је <math>\overline{AC}^2+\overline{BD}^2=2\overline{AB}^2+2\overline{BC}^2.</math> Наиме, како је угао CBA = 180°-α, према косинусној теореми из троуглова ADB, ABC добијамо <math>\overline{BD}^2=\overline{AD}^2+\overline{AB}^2-2\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cdot\cos\alpha,</math>

== Спољашње везе ==

{{Commonscat|Law of cosines}}

 

[[Категорија:Тригонометрија]]