Покривач (математика) — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
мНема описа измене |
м Бот: исправљена преусмерења |
||
Ред 22:
'''Доказ'''
Означимо са <math> X </math> скуп свих оних тачака <math> x </math> за које важи да се одсечак <math> [a,x] </math> може покрити коначним бројем [[
Пошто скуп <math> X </math> није празан и ограничен је одозго, он мора имати [[инфимум и супремум|супремум]]. Нека је <math> y </math> његов супремум. Ако претпостављамо да тачка <math>b</math> не припада том скупу, онда је <math> x \leq y \leq b </math>, те и <math> y </math> припада одсечку <math>[a, b]</math>, па као и свака тачка тог сегмента, и <math> y </math> припада неком отвореном интервалу <math>(\alpha, \beta)</math>. Тада за неко <math> x </math> важи: <math> \alpha \leq x \leq y </math>, јер би иначе то <math> x </math> било супремум скупа <math>X</math>.
Интервал <math> (\alpha, \beta)</math> можемо придружити скупу <math> X </math>, зато што је могуће и одсечак <math> [a,y] </math> прекрити са коначним бројем отворених интервала. Међутим, ако би било <math> y \neq b </math>, тада би се између <math> y </math> и <math> b </math> нашло још чланова скупа <math>X</math> због отворености интервала <math>(\alpha, \beta)</math>, што је у супротности са тиме да је <math> y </math> супремум скупа <math>X</math>. Због тога, и <math> b </math> припада скупу <math> X </math>, чиме смо доказали да се одсечак <math>[a, b]</math> може прекрити са коначним бројем отворених интервала, што је и тврђење леме.
| |||