Вектор — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат
м Бот: правопис; козметичке измене
Ред 1:
{{Друго значење|преносиоце болести|[[Вектор (инфекције)]]}}
{{Друго значење|формално математички гледано, исправан начин за дефинисање вектора|[[Векторски простор]]}}
'''Вектор''' је појам из [[Математика|математике]], области [[линеарна алгебра]], који је уведен првенствено да би се разликовале величине које се појављују у природи, а имају правац и смер, те се као такве разликују од величина које имају само интензитет и зову се [[скалар (математика)|скаларскалари]]и.
 
'''Векторске величине''' су величине одређене са два или више параметара. Најпознатији су примери везани за [[Геометрија|геометрију]] у простору где се вектор одређује правцем, смером и интезитетоминтензитетом а представља стрелицом оријентисаном дуж правца, дужине пропорционалне интензитету, а чији врх показује смер на задатом правцу. Генерализовани вектор не мора бити ограничен на три димензије. Вектор у ''n''-димензионалном простору описује се са ''n'' параметара.
 
Физичко тумачење вектора обично се своди на тродимензионални простор. Тако су векторске величине [[брзина]], [[сила]], [[убрзање]], [[импулс]], [[момент импулса]]... Скаларне су [[маса]], [[температура]], [[запремина]]...
Ред 38:
 
== Операције над векторима ==
Над векторима, као и свим осталим елеметима аналитичке математике, се могу увести аритметичке операције. При томе се вектор представља као уређена н-торка скалара који припадају неком пољу ''-{K}-''. На пример:<br /><br />
 
:<math>a = (a_1,a_2,a_3,...,a_n), \; a_i \in K</math>, <math>i = 1, ... ,n</math><br /><br />
 
Је један ''-{n}-''-димензионални вектор над пољем ''-{K}-''. Појам ''-{n}-''-димензионални долази од чињенице да је вектор дефинисан помоћу ''-{n}-'' скалара. Простор ових вектора се још назива ''-{K<sup>n</sup>}-'', а скалари који чине вектор заједно са информацијом о њиховој позицији у уређеној ''-{n}-''-торки координате вектора. На пример ''a<sub>1</sub>'' је прва координата вектора, ''a<sub>2</sub>'' је друга координата вектора итд.
Ред 47:
 
=== Интензитет вектора ===
Интензитет вектора се у еуклидовој геометрији дефинише као квадратни корен збира квадрата његових координата.<br /><br />
 
:<math>\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n</math><br />
:<math>|a| = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}</math><br /><br />
 
=== Множење вектора скаларом ===
Множење вектора <math>\overrightarrow{a} \in K^n</math> неким скаларом <math>\alpha \in K</math> је дефинисано као множење сваке координате ток вектора тим скаларом. Ова операција је [[комутативност|комутативна]].<br /><br />
 
:<math>\alpha \cdot \overrightarrow{a}</math> = <math>\alpha \cdot (a_1,a_2,a_3,...,a_n)</math> = :<math>(\alpha \cdot a_1,\alpha \cdot a_2,...,\alpha \cdot a_n).</math>
 
=== Сабирање вектора ===
[[СликаДатотека:sabiranje.vektora.png|160п|мини|десно|Сабирање вектора]]
[[СликаДатотека:oduzimanje.vektora.png|160п|мини|десно|Одузимање вектора]]
 
Узмимо два вектора <math>a, b \in K^n\,</math>:
<br /><br />
:<math>\overrightarrow{a} = (a_1,...,a_n)</math><br />
:<math>\overrightarrow{b} = (b_1, ... ,b_n)</math><br /><br />
 
Њихово сабирање се дефинише као сабирање компоненти са истим индексима.
<br /><br />
:<math>+: (K^n,K^n) \rightarrow K^n\,</math><br />
:<math>\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}</math>, <br />
:<math>c_i = a_i + b_i\,</math>, где је <math>i=1,...,n\,</math><br /><br />
 
При чему ће вектор ''-{c}-'' бити из простора <math>K^n\,</math>. '''Одузимање''' вектора би се вршило по сличном принципу:<br /><br />
 
:<math>\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})</math><br /><br />
 
При чему <math>-\overrightarrow{b} = (-b_1,-b_2,...,-b_n)</math>.
Ред 80:
=== Скаларно множење вектора ===
Слично сабирању, скаларно множење вектора се дефинише као збир производа свих парова координата два вектора, које имају исте индексе. Овај збир и производ се преузимају из поља ''-{K}-''. Разлика у односу на сабирање је то што је резултат скаларног производа два вектора из ''-{K<sup>n</sup>}-'' у ствари један скалар из ''-{K}-''. Конкретно за два вектора ''-{a}-'' и ''-{b}-'' из ''-{K<sup>n</sup>}-'' би производ ''-{k}-'' изгледао овако:
:<math>\cdot : (K^n,K^n) \rightarrow K</math><br />
:<math>k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} , k \in K</math><br />
:<math>k = \sum_{k=1}^n {a_i \cdot b_i}</math>, где је <math>i=1, \, \ldots \, ,n</math>
 
Ред 88:
:<math>k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \cdot \cos \omega , </math>
 
при чему је ''ω'' угао између ''-{a}-'' и ''-{b}-''.<br /><br />
Ово заправо значи и:
:<math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}</math><br /><br />
 
То јест да су два вектора нормални, ако им је скаларни производ једнак нули.
Ред 96:
=== Векторски производ ===
Још један тип производа карактерестичан за тродимензионалне еуклидске просторе (''-{E<sup>3</sup>}-'') је '''векторски производ'''. Дефинише се на следећи начин:
:<math>\times : (E^3,E^3) \rightarrow E^3\,</math><br /><br />
:<math>\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in E^3</math><br />
:<math>\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =</math>
:<math>\overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)=</math> <math>\begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}</math><br /><br />
Јер су <math>\overrightarrow{i}=(1,0,0)</math>, <math>\overrightarrow{j}=(0,1,0)</math> и :<math>\overrightarrow{k}=(0,0,1)</math> вектори канонске базе ''-{E<sup>3</sup>}-''.
 
Ред 124:
* <math>[\vec{a_1}+\vec{a_2},\vec{b},\vec{c}] = [\vec{a_1}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{a_2},\vec{b},\vec{c}]</math>
 
== Види још ==
* [[Векторски простор]]
* [[Грам—Шмитов поступак ортонормализације|Грам-Шмитов поступак]] за ортогонализацију скупа вектора
 
== Литература ==
* Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за III разред средње школе. Завод за уџбенике. Београд. 2008.
 
== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Vector mathematics}}
* [http://www.elemenat.com/cyr/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8 Вектори - Вики Архимед]
 
 
[[Категорија:Линеарна алгебра]]
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Вектор