Гринова функција — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
мНема описа измене |
Нема описа измене |
||
Ред 1:
'''Гринова функција''' -{''G(x,x')''}- је решење линеарне [[диференцијална једначина|диференцијалне једначине]] облика:
'''Гринова функција''' је решење диференцијалне једначине Другим речима, Гринова функција је одговор система на јединичну побуду.<ref>[http://qtpcenter.ff.bg.ac.rs/voja/eld090614.pdf Електродинамика], Воја Радовановић, pp. 113-116, Физички факултет, децембар 2014, приступљено: 21. август 2015.</ref>▼
<math>D_x G(x,x') = \delta (x-x'),</math>
▲где је -{''D_x '
Гринове функције су добиле назив по [[енглески|британском]] математичару [[Џорџ Грин|Џорџу Грину]] који их је
== Особине ==
Линија 7 ⟶ 9:
Гринова функција није једнозначно одређена. За њено одређивање потребно је додати одређени гранични услов, а најчешће се наметају Диришлеов или Нојманов гранични услов.
* [[Диришлеов гранични услов]] захтева да Гринова функција на граници буде једнака нули. Последица оваквог захтева је да је Гринова функција симетрична по <math>\vec{r}</math> и <math>\vec{r'}</math>, тј. да је <math>G(\vec{r}, \vec{r'}) = G(\vec{r'}, \vec{r}).</math>
* [[Нојманов гранични услов]] подразумева да је извод Гринове функције у правцу нормале једнак <math>- \frac{4 \pi}{S}</math>.
== Поасонова једначина ==
Линија 17 ⟶ 19:
:<math>G(\vec{r}, \vec{r'}) = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}+ F(\vec{r}, \vec{r'}),</math>
где је <math>F(\vec{r}, \vec{r'})</math> решење хомогене [[диференцијална једначина|диференцијалне једначине]]: <math>\Delta' F(\vec{r}, \vec{r'}) = 0</math>
== Метод Гринових функција ==
Метод Гринових функција се уводи за решавање [[диференцијална једначина|диференцијалних нехомогених једначина]] које су линеарне. Метод се састоји у томе да се аналогна једначина увођењем Гринове функције уместо почетне решава за јединичну побуду уместо за нехомоген део, и онда се укупно решење добија [[суперпозииција|суперпозицијом]], што је еквивалентно [[Хајгенсов принцип|Хајгенсоновом принципу]] у [[електродинамика|електродинамици]].
=== Пример ===
Стационарна [[Шредингерова једначина]] има облик:
:<math>(\Delta + k_0^2)\Psi^{(n)}(\vec{r}) = J^{(n)}(\vec{r}),</math>
где је <math>J^{(n)}(\vec{r})</math> позната функција.
Oва једначина се може решити методом Гринових функција. Дакле, решавамо аналогну једначину с тим што непознату функцију замењујемо Гриновом функцијом, а нехомоген део с десне стране једначине замењујемо [[Делта функција|Делта функцијом]].
:<math>(\Delta + k_0^2)G(\vec{r}, \vec{r'}) = \delta (\vec{r} - \vec{r'}).</math>
Таласна функција преко Гринове функције је изражена као:
:<math>\Psi^{(n)}(\vec{r}) = \int G(\vec{r}, \vec{r'})J^{(n)}(\vec{r'}) d^{3}r', </math>
што се може лако проверити убацивањем у почетну једначину.
Како су сви чланови у једначини са Гриновом функцијом [[инваријантност|инваријантни]] на [[транслација|транслације]], то ни Гринова функција не зависи експлицитно од координата:
:<math>G(\vec{r}, \vec{r'}) = G(\vec{r} - \vec{r'}),</math>
а једначина се може решити развојем у [[Фуријеов интеграл]]:
:<math>G(\vec{r}, \vec{r'}) = G(\vec{r} - \vec{r'}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int c(\vec{k}) e^{ik(\vec{r}-\vec{r'})} d^{3}k,</math>
где коефицијенте у развоју добијамо преко [[Инверзни Фуријеов интеграл|инверзног Фуријеовог интеграла]].<ref>Борнова апроксимација, pp. 201-204, Квантна механика, Маја Бурић, јун 2015</ref>
== Види још ==
|