Степен двојке — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Ред 38:
== Еуклидови елементи, 9. књига ==
Геометријска прогресија 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (или, у [[Бинарни систем|бинарном бројевном систему]] 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, … ) је важна у [[Теорија бројева|теорији бројева]]. 9. књига, 36. предлог [[Еуклидови Елементи|Елемената]] доказује да ако је сума првих ''n'' чланова ове прогресије прост број (значи, Мерсенов прост број поменут изнад), онда ова сума помножена ''n''-тим чланом је [[савршен број]]. На пример, сума првих 5 чланова низа 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, који је прост број. Сума 31 помножена са 16 (5. члан низа) је једнака 496, који је
9. књига, 35 Предлог, доказује да ако је у геометријском низу први члан одузет од другог и последњег члана низа, онда је вишак другог први—тако да је вишак последњег све оно пре њега. (Ово је преправка наше формуле за геометријски низ изнад.) Примењујући ово на геометријску прогресију 31, 62, 124, 248, 496 (која резултује од 1, 2, 4, 8, 16 множењем свих чланова до 31), видимо да 62 минус 31 је 31 као и 496 минус 31 је збир 31, 62, 124, 248. Стога, бројеви 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 додати до 496 и даље су сви ови бројеви [[Дељивост|деле]] број 496. Под претпоставком да ''p'' дели број 496 и није међу овим бројевима. Претпоставимо да су <span class="texhtml ">''p'' ''q''</span> једнаки <span class="texhtml ">16 × 31</span>, или да је 31 ''q'', а ''p'' 16. Сада ''p'' не може да дели 16 или би било међу бројевима 1, 2, 4, 8 или 16. Стога, 31 не може да дели ''q''. И како 31 не дели ''q'' и ''q'' је 496, [[основна теорема аритметике]] имплицира да ''q'' мора да дели 16 и да буде међу бројевима 1, 2, 4, 8 или 16. Нека ''q'' буде 4, онда ''p'' мора бити 124, што је немогуће с обзиром на то да хипотеза ''p'' није међу бројевима 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.
| |||