Центар масе — разлика између измена

'''Центар масе''' је тачка на објекту (или систему) <math>\mathbb{R}, \mathbb{R<sup>}^2</supmath> или R<supmath>\mathbb{R}^3</supmath> ,у гдекојој се може сматрати да је сконцентрисана читава [[маса]]. Захваљујући овоме, читав објекат се може третирати као [[материјална тачка]], чија је маса једнака укупној маси система, и његово кретање се може поредити са кретањем овакве материјалне тачке. У центру масе је нападна тачка гравитационе силе која делује на тело. ЦентарУ зависности од облика тела, центар масе може да се налази изван његових граница масе тела, што зависи од његовог облика.

Тежиште представља тачку на објекту, гдеу којој би се налазио центар масе када би објекат био константне густине. Тежиште постоји због одређене расподеле масе на телу. Маса је једно од основних својстава природе.

Једно од основних својстава свемира је постојање привлачне силе између било које две масе. Ту силу зовемо "[[Гравитација|гравитационом силом]]" или гравитационим привлачењем. Она је јача што су масе тела веће. Међутим, гравитациона сила је слаба сила, па њено постојање можемо приметити само када посматрамо неко тело врло велике масе, као што је планета Земља. Земљину гравитациону силу свакодневно примећујемо и називамо "силом Земљине теже". Уопште, Земља привлачи сва тела у својој околини, а то привлачење се препознаје као узрок падања тела.

Ако се тело налази у бестежинском стању, значи да на њега не делује сила теже (гравитациона сила). Међутим, тела увек имају масу (маса је непроменљиво својство сваког тела), па и кад су у бестежинском стању. Маса је распоређена у телу на одређен начин, но постоји тачка на телу у којој се чини као да се у њој налази целокупна маса тела. Ту тачку зовемо "центар масе тела". Кад се тело налази под дејством гравитационе силе, центар масе тела постаје једнак тежишту тела. У бестежинском стању постоји само центар масе тела.

Концепт центра масе, у форми центра гравитације је, први путје увео Грчки физичар и математичар [[Архимед|Архимед.]] Даљим математичким испитивањем је открио својства полуге. Закон полуге дефинише добијање вишеструке силе на једном њеном крају, променом растојања између ослонца и крајева полуга. Закон је сачињен од седам постулата који су наведени у Архимедовом делу "''О равнотежи равних тела или о тежиштима равних тела"''. Архимед је под тежиштем разумео течку која има особину да остане у равнотежи кад се за њу обеси тело без обзира на положај који му је дат.

Најједноставнији пример јесте пример тзв. клацкалице: Имамо дате две тачке ''<math>S''</math> и ''<math>P''</math> на крајевима клацкалице са својим масама ''m<submath>1m_1</submath>'' и ''m<sub>2</submath>m_2\ (m₁m_1,m₂'' <math>m_2\neq 0)</math> ''0)'' што ћемо означити са <math>S(m₁m_1),\ P(m<sub>2m_2)</submath>) и нека је ''Т''<math>T</math> тачка ослонца чији се положај тражи да би клацкалица била у равнотежи. За ''Т''<math>T</math> важи:

Лако је одредити тежиште тела геометријски правилног облика. На пример, тежиште коцке, односно квадра је у пресеку његових телеснихпросторних дијагонала. Тежиште лопте је у њеном средишту. Лако је одредити положај тежишта тела плочастог облика, на пример лењира. Он се налази испод пресека дијагонала. Када се тело подупре или ослони у тежишту остаје у стању мировања (равнотеже).

Уколико је дато ''i''<math>n</math> материјалних тела (''i''<math>n</math> је коначан број), сваки са масом ''m<submath>i,m_i</submath>'' који су распоређени у некој равни тако да се свако материјално тело налази у тачки (''x_i, y''_i).

''<math>M = Σm<sub>i\sum m_i</submath>'' je укупна маса система. Свако тело мора имати момент масе око сваке осе. Одакле следи:

Израчунавање центра масе тродимензионалног система се не разликује много од израчунавања у дводимензионалном систему због лакоће свођења троструког на двоструки интеграл. Дефиниција момента масе тела је аналогна: нека је дата тачка ''М(x,y,z)'', и нека је са δ(x,y,z) означена густина у тачки M.

Moмент око ''<math>yz''</math>-равни:

Кретање сиситема ће сигурно зависити, осим од сила које делују на њега, од тоталнеукупне масе система и расподеле масе у систему. Маса система је једнака аритметичкој сумисредини маса свих честица (тела) које га чине <bigmath >m =</big><math >\sum_{k} m_k</math >

<big>x<sub>c</submath>x_C =</big><math>\ \frac {\sum_{k=1}^N m_k x_k}{\sum_{k=1}^N m_k}</math >

<big>y<sub>c</submath>y_C =</big><math>\ \frac {\sum_{k=1}^N m_k y_k}{\sum_{k=1}^N m_k}</math >

<big>z<sub>c</submath>z_C =</big><math>\ \frac {\sum_{k=1}^N m_k z_k}{\sum_{k=1}^N m_k}</math >

<big>x<sub>c</submath>x_C =</big><math>\ \frac {\int\limits_m \, x\,dm}{ \int\limits_m \, \,dm}</math >

<big>y<sub>c</submath>y_C =</big><math>\ \frac {\int\limits_m \, y\,dm}{ \int\limits_m \, \,dm}</math >

<big>z<sub>c</submath>z_C =</big><math>\ \frac {\int\limits_m \, z\,dm}{ \int\limits_m \, \,dm}</math >

# Т. Шукиловић, С. Вукмировић, ''Геометрија ѕа информатичаре - скрипта'', Математички факултет, Београд, 2015. ISBN: 978-86-7589-106-2