Ојлерови и Тејт-Брајанови углови — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Ред 8:
== Прва Ојлерова теорема ==
'''''Свако кретање <math>g</math> простора <math>\mathbb{E}^3</math> које има фиксну тачку неку <math>O'</math> је ротација око неке оријентисане праве <math>p</math> која садржи <math>О'</math> за угао <math>\varphi \in [0,2\pi)</math>.'''''
Ова теорема тврди да је свако кретање тродимензионог простора које фиксира неку тачку ротација око неке праве за неки угао. Специјално, свако линеарно кретање, тј. оно које фиксира координатни почетак <math>О</math>, је ротација око неке праве кроз тачку <math>О</math>.
Пресликавање <math>f</math> = <math>T_{\vec{O'O}}</math> ◦ <math>g</math> ◦ <math>T_{\vec{OO'}}</math> је кретање које фиксира координатни почетак, па је оно линеарно пресликавање са матрицом <math>А</math> за коју важи <math>A_{T}</math>, <math>det A=1</math>. За сопствену вредност <math>\lambda</math> ( вектор <math>\vec v</math> је одговарајући сопствени вектор) важи:
<math>|\vec{v}|</math> = <math>|f(\vec{v})|</math> = <math>|A\vec{v}|</math> = <math>|{\lambda}\vec{v}| </math>= <math>|{\lambda}||\vec{v}|</math>
Ако је сопствена вредност реална, она је <math>\lambda =\pm 1</math> јер кретање чува дужину вектора. Ако је комплексна, њена комплексна норма <math>|\lambda|</math> је једнака 1, па су <math>\lambda = cos \varphi + i*sin \varphi</math> и <math>\lambda' = cos \varphi - i*sin \varphi</math> сопствене вредности. Матрица <math>А</math> је формата 3x3, па има 3 сопствене вредности од којих је бар једна реална. Како је производ сопствених вредности детерминанта матрице <math>А</math>, тј. <math>det A=1</math>, постоје 3 случаја:
* <math>\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = 1</math> : пресликавање <math>f</math> је тада идентитет;
* <math>\lambda_{1} = \lambda_{2} = -1, \lambda_{3} = 1</math> :пресликавање <math>f</math> је ротација за угао <math>\pi</math> око сопственог вектора <math> \vec p</math> који одговара вредности <math>\lambda_{3}</math>
| |||