Теорија скупова — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Ред 64:
ЦФ аксиоме, са изузетком аксиоме проширљивости, служе при градњи кумулативне хијерархије скупова. Користећи трансфинитну рекурзију дефинишемо класу-функцију која која додељује сваком ординалу α скуп V<sub>α</sub> на следећи начин:
:V<sub>0</sub>=∅
:V<sub>α+1</sub>=P(V<sub>α</sub>)
:V<sub>α</sub>=⋃<sub>β<α</sub>V<sub>β</sub> кад год је α гранични ординал.
Аксиома партитивног скупа се користи да се од V<sub>α</sub> добије V<sub>α+1</sub>. Аксиоме замене и уније се користе да се добије V<sub>α</sub> за α гранични ординал. Аксиома бесконачности се користи да се докаже постојање ω а тиме и трансфинитни низ ординала. Аксиома основе, уз претпоставку важења осталих аксиома, је еквивалентна тврдњи да сваки скуп припада неком V<sub>α</sub> за неки ординал α. На тај начин ЦФ доказује да теоретски универзални скуп, означен са V, је унија свих V<sub>α</sub>, где је α неки ординал.
Ред 74:
Доказано и значајно својство V које се може доказати помоћу ЦФИ је такозвани принцип рефлексије. За сваку формулу φ(x<sub>1</sub>,…,x<sub>n</sub>) ЦФИ доказује да постоји неки ординал α такав да га V<sub>α</sub> рефлектује, тј за сваки a<sub>1</sub>,…,a<sub>n</sub>∈V<sub>α</sub>,<br />
:φ(a<sub>1</sub>,…,a<sub>n</sub>) важи у V ако и само ако φ(a<sub>1</sub>,…,a<sub>n</sub>) важи у V<sub>α</sub>.<br />
Отуд V се не може описати неком реченицом, пошто било која реченица која важи у V мора да такође важи у неком иницијалном сегменту од V<sub>α</sub>. Отуд долазимо до закључка да ЦФИ није финално аксиоматизована јер би у противном ЦФИ доказала да, за неограничено много ординала α, V<sub>α</sub> је неки модел ЦФИ, што противречи другој Геделовој теореми.
| |||