Релација (математика) — разлика између измена

нема резимеа измене
м (Бот: исправљена преусмерења; козметичке измене)
У математици, '''релација''' је непразан подскуп [[Декартов производ|Декартовог производа]] [[скуп]]ова.
 
=== Дефиниције ===
Релација &rho; дужине -{n}- је непразан подскуп Декартовог производа n скупова. Када је -{n = 2}- тада говоримо о [[бинарна релација|''бинарној'' релацији]], дакле о релацији између елемента -{x}- са елементом -{y}-, односно о уређеном пару -{(x, y)}- из Декартовог производа <math>A\times B.</math> Ако је <math>(x, y)\in\rho</math> тада кажемо да је елемент <math>x\,</math> у релацији са елементом <math>y\,</math> и пишемо <math>x\rho y\,</math>.
 
: ако је <math>\sigma \subset A\times B</math> и <math>\rho \subset B\times C,</math> тада релацију <math>\rho\circ\sigma\subset A\times C,</math> дату са <math>\rho\circ\sigma=\{(x,y)|(\exists z\in B)x\rho z\wedge z\rho y\}</math> називамо композиција релација <math>\rho\,</math> и <math>\sigma\,.</math>
 
=== Пример релација ===
[[Датотека:Graf-relacije.gif|мини|Граф релације]]
# Дати су скупови: <math>A=\{ a, b, c \},\; B=\{1, 2, 3\},\,</math> Декартов производ је скуп уређених парова <math>A\times B=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)\},\,</math> а (једна од) релација је <math>\rho=\{(a,1),(a,2),(b,2),(c,2)\},\,</math> на слици десно. Пишемо нпр. <math>(a,2)\in \rho.\,</math> и кажемо уређен пар а, 2 је елемент релације ро, односно читамо, а је у релацији ро са 2.
# Релација ''мање или једнако'' у скупу реалних бројева.
 
=== Основне особине ===
Основне четири особине су:
* ''Рефлексивност'': <math>(\forall x)(x \in X) x \rho x</math>. Другим речима, дата релација је рефлексивна ако и само ако је сваки елемент у релацији са собом.
''Релација поретка'' је она која има особине ''РАТ'' (Рефлексивност, Антисиметричност, Транзитивност).
 
=== Остале особине ===
Из дефиниција се лако могу добити следећа својства релација:
* <math>\mathcal{D}(\rho)=\mathcal{K}(\rho ^{-1}), \; \mathcal{D}(\rho ^{-1})=\mathcal{K}(\rho);</math>