Теорија скупова — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
→Аксиоме теорије скупова: iskazi logike prvog reda |
|||
Ред 19:
У овој секцији изложићемо, у кратким цртама, Цермело-Френкел аксиоме са аксиомом избора (ЦФИ). Цела аксиоматика ће бити изложена у [[логика првог реда|логици првог реда]] са само једном бинарном релацијом припадности <math>\in</math>.
* Аксиома проширења: Два скупа <math>A</math> и <math>B</math> су једнаки ако имају исте елементе.
::<math>\forall x\forall y[\forall z (\left.z \in x\right. \leftrightarrow \left. z \in y\right.) \rightarrow x=y]</math>
* Аксиома празног скупа: Скуп који нема елементе зове се празан скуп и означава са <math>\emptyset</math>.
::<math>\exists x \neg\exists y (y \in x)</math>
* Аксиома пара: Ако су дати скупови <math>A</math> и <math>B</math>, тада постоји скуп <math>{A,B}</math> који садржи само <math>A</math> и <math>B</math> као своје елементе. Постоји такође скуп <math>\{A\}</math> чији је један једини елемент скуп <math>A</math>.
::<math>\forall x\forall y \exists z \forall w (w\in z \leftrightarrow w=x \lor w=y)</math>
* Аксиома партитивног скупа: За сваки скуп <math>A</math> постоји скуп <math>\mathcal{P}(A)</math> који се зове партитивни скуп скупа <math>A</math> чији су елементи сви подскупови скупа <math>A</math>.
::<math>\forall x \exists y \forall z[z\in y \leftrightarrow \forall w(w\in z \rightarrow w\in x)]</math>
* Аксиома уније: За сваку скуп <math>A</math> постоји скуп <math>\cup A</math> који се зове унија скупа <math>A</math> а чији су елементи елементи скупа <math>A</math>.
::<math>\forall x\exists y\forall z[z\in y \leftrightarrow \exists w(w\in x \land z\in w)]</math>
* Аксиома бесконачности: Постоји бесконачан скуп, тј. постоји скуп <math>Z</math> који садржи <math>\emptyset</math> и такав да ако је <math>A \in Z</math> тада је <math>\cup\{A,\{A\}\} \in Z</math>.
::<math>\exists x[\varnothing\in x \land \forall y(y\in x \rightarrow \bigcup\{y,\{y\}\}\in x)]</math>
* Аксиома раздвајања: За сваки скуп <math>A</math> и свако дато својство скупа постоји скуп који садржи елементе скупа <math>A</math> који имају поменуто својство скупа. Својство скупа је дефинисано формулом <math>\phi</math> у логици првог реда теорије скупова. На тај је начин аксиом раздвајања у суштини аксиом шема тј. бесконачна листа аксиома, где је свака аксиома дата формулом <math>\phi</math>.
::<math>\forall u_1 \ldots\forall u_k [\forall w\exists v\forall r(r\in v \leftrightarrow r\in w \land \psi_{x,\hat{u}}[r,\hat{u}])]</math>
*
::<math>\forall u_1 \ldots\forall u_k [\forall x\exists!y\phi(x,y,\hat{u})\rightarrow \forall w\exists v\forall r(r\in v\leftrightarrow \exists s(s\in w \land \phi_{x,y,\hat{u}}[s,r,\hat{u}]))]</math>
* Аксиома основе: Сваки непразни скуп <math>A</math> садржи неки <math>\in</math>-минимални елемент тј.елемент који не садржи ни један други елемент скупа <math>A</math>.
::<math>\forall x[x\ne\varnothing\rightarrow\exists y(y\in x\land\forall z(z\in x \rightarrow\neg(z\in y)))]</math>
* Аксиома избора: За сваки скуп <math>A</math> узајамно дисјунктних непразних скупова постоји скуп који садржи тачно један елемент из сваког скупа који припада скупу <math>A</math>.
Проблеми и сумње у ваљаност ове аксиоме потичу од чињенице да аксиома тврди да постоје скупови који не могу бити експлицитно дефинисани. Ове сумње су уклоњене Геделовим ({{јез-нем|Kurt Gödel }}) доказом да је аксиома избора сагласна са осталим Цермело-Френкел аксиомама. Аксиома избора је еквивалентна принципу добре уређености који тврди да сваки скуп може да се добро уреди тј. сваки скуп може да се линеарно уреди тако да сваки његов непразан подскуп има неки минимални елемент.
| |||