|
Путања случајне шетње је збир локација које су посећене, које су занемарене док сшетњом не стигнемо на место. У једној димензији, путања су једноставно све тачке између минималне висине шетње која је постигнута и максимално (оба су, у просеку, по налогу √ н). У вишим димензијама скуп има занимљиве геометријске карактеристике. У ствари, један добија дискретни фрактал, то је скуп који показује стохастичко само-сличност на великим скалама, али се у малом обиму може посматрати "јаггеднесс" тако да произилази из мреже на којој се врши шетња. Две Лавлерове књиге наведене у даљем тексту су добар извор за ову тему.
=== Однос према ВиенерВинеровом процесу ===
{{Главни чланак|Винеров процес}}
[[Датотека:Brownian_hierarchical.png|right|thumb|196x196px|СимулираниСимулација кораци приближавања ВиенерВинеровог процеса у две димензије]]
[[Виенер процес]] је стохастички процес са сличним понашањем као [[Брауново кретање]], физичког феномена минута честице дифузионих у течностима. (Понекад Виенеров процес се назива "Брауново кретање", иако је то строго говорећи конфузија модела са феноменом који се моделира.)
[[Винеров процес]] је математичка формулација Брауновог кретања, случајног кретања тела у течностима веће специфичне густине од њега самог.
Винеров процес је повезан са случајном шетњом. Стохастички процес
Виенеров процес је [[скаларни производ вектора|скалирање граница]] случајне шетње у димензији 1. То значи да ако узмете случајну шетњу са веома малим корацима добијете приближавање у Виенеровом процесу (и, мање прецизно, од Брауновог кретања). Да будемо прецизнији, ако је величина корака ε, потребно је прошетати од дужине Л / ε2 и приближи дужину Виенер Л. Као кораком тежи 0 (и број корака се повећава пропорционално) случајна шетња конвергира до Виенеровог процеса у одговарајућем смислу. Формално, уколико је Б простор свих путева дужине Л с максималном топологијом, а ако је М простор мере над Б, са нормом топологије, онда је конвергенција у простору М. Слично томе, Виенеров процес у више димензија је скалирање граница случајне шетње у истом броју димензија.
:<math>W_n(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{1\leq k\leq\lfloor nt\rfloor}\xi_k,</math>
за свако <math>\xi_1, \xi_2, \ldots</math>, где су то независне и идентични распоређене случајне променљиве са очекиваном вредношћу 0 и варијансом 1, за <math>n \to \infty</math>, <math>W_n</math> тежи Винеровом процеесу. Конвергенција је дата [[Централна гранична теорема|Централном граничном теоремом]].<ref>Steven Lalley, Mathematical Finance 345 Lecture 5: Brownian Motion (2001)</ref> Винеров процес у произвољној димензији је лимес случајне шетње у истој димензији.
Случајна шетња јесе може посматрати као дискретан [[фрактал]], односно (функција сацелобројних интегралним димензијама ;димензија 1, 2, ...), али Винеров процес путања је прави фрактал, и постоји веза између њих. На пример, узети случајни шетњу док не удари круг полупречника Р пута дужине корак. Просечан број корака које обавља је Р2. Ова чињеница је дискретна верзија чињенице да је Виенеров процес шетње фрактал од [[ХаусдорффХаусдорфова димензија|Хаусдорфове димензије]] 2.
Винеров процес шетње је инваријантан на [[ротација|ротације]] за произвољни угао, док је случајна шетња инваријантна само на ротације под правим углом, јер је дефинисана на целобројној решетки која сама не поседује инваријантност на остале ротације.
У две димензије, просечан број бодова истих случајних шетњи на граници своје трајекторије је Р4 / 3. То одговара чињеници да је граница путање по Виенеровом процесу фрактал димензије 4/3, чињеницу је предвидео [[Манделброт]] користећи симулације, али је показао само у 2000. [[Лавлер]], [[Сцхрамм]] и [[Вернер]].
Виенеров процес нема много с[[Симетрија|иметричне]] случајне шетње . На пример, Винеров процес шетње је инвариантан за ротацију, али случајна шетња није, јер није основна мрежа (случајна шетња је инвариантна за ротацију за 90 степени, али Виенерови процеси су инваријантни за ротације, на пример, 17 степени превише ). То значи да у многим случајевима, проблеме случајне шетње је лакше решити превођењем у Виенеров процес, ту се решавају проблеми, а затим се преводе назад. С друге стране, неке проблеме је лакше решити са случајном шетњом због своје дискретне природе.
Случајна шетња и Виенеров процес могу бити спојени, односно манифестују се на истом вероватноћама простора у зависности од начина који их приморава да буду сасвим близу. Најједноставније такво везивање је Скорокход уградња, али и други, прецизније спојнице су познате као добре.
Конвергенција случајне шетње ка Виенеровом процесу је контролисана од стране [[Централна гранична теорема|централне граничне теореме]]. За честице у познатом фиксном положају у т = 0, теорема нам говори да је после великог броја независних корака у случајној шетњи, положај Тхе шетач дистрибуира у складу са нормалном расподелом укупне [[Варијанса|варијансе]]:
: <math>\sigma^2 = \frac{t}{\delta t}\,\varepsilon^2,</math>
где је т време протекло од почетка случајне шетње, \ варепсилон је величине корак од случајне шетње, и \ Делта Т је време протекло између два узастопна корака.
То представља зелену функцију [[Дифузија једначине|дифузије једначине]] која контролише Виенеров процес, који показује да је, након великог броја корака, случајна шетња конвергирала Виенеров процес.
У 3Д, одступање одговарајуће зелене функције од дифузије једначине је:
: <math>\sigma^2 = 6\,D\,t</math>
Изједначавањем ове количину са варијацијама повезаним са положајем случајне шетње, добија се коефицијент дифузије еквивалента тако да се сматра за асимптотски Виенеров процеса према којем случајна шетња конвергира након великог броја корака:
: <math>D = \frac{\varepsilon^2}{6 \delta t}</math> (важи само у 3D)
Напомена: два изрази варијанса изнад одговарају дистрибуцији повезаној на вектор<math>\vec R</math> која повезује два краја случајне шетње у 3D. Одступање повезано у свакој компоненти<math>R_x</math>, <math>R_y</math> или <math>R_z</math> је само једна трећина од ове вредности (still in 3D).
За 2D:<ref>http://engineering.dartmouth.edu/~d30345d/courses/engs43/Chapter2.pdf</ref>
: <math>D = \frac{\varepsilon^2}{4 \delta t}</math>
За 1D:<ref>http://nebula.physics.uakron.edu/dept/faculty/jutta/modeling/diff_eqn.pdf</ref>
: <math>D = \frac{\varepsilon^2}{2 \delta t}</math>
== Гаусова случајна шетња ==
| 