Светлост (оптика) — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат
Autobot (разговор | доприноси)
м ciscenje
.
Ред 3:
Светлост као појава је пре свега предмет физичке или [[таласне оптике]], како у општем оквиру [[електромагнетно поље|електромагнетног поља]], тако и у ужем оквиру везаном за рад оптичких склопова.
Особине светлости битне за стварање слике, или за проучавање својстава узорка светлости у оптичким инструментима су:
{{columns-list|4|
 
* одбијање (рефлексија)
* преламање (рефракција)
* дељење (дисперзија)
* пренос (трансмисија)
* таласни састав
* фазна уједначеност (кохерентност)
* поларизација
* одвајање (дифракција)
}}
 
У начелу, прва четири својства проистичу из међудејства светлости и материјала, док су друга четири одлике самог светлосног таласа.
 
Ред 37:
Таласно кретање је представљено општим обликом [[диференцијалне једначине]] попречног таласа (енг. ''transverse wave'') за једну просторну [[Променљива (математика)|променљиву]]:
 
: <math>\frac {\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2} \frac {\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math> (1)
 
која је основа за општи израз којим се обично описује дводимензионални талас у произвољном делу простора/времена:
 
: <math> \psi (x,t)=f(x-ct)</math> (2)
 
где је ψ(x,t) таласна [[Функција (математика)|функција]], са просторном променљивом '''k''' и временском променљивом '''t''', док је +/- знак за кретање у позитивном и негативном смеру, у истом редоследу.
Ред 49:
[[Датотека:СИНУСОИД.png|thumb|Слика 3: СИНУСОИД]] Пошто електромагнетни талас, у начелу, има [[синусоидан]] облик, представљен је општим изразом:
 
: <math> \psi (x,t)=Asin \, k(x \pm ct)</math> (3)
 
где '''A''' представља распон таласне осцилације (енг. ''wave amplitude''), тј. највеће одступање од средишње, нулте тачке, а k=2π/λ је позитивна непроменљива звана ''периодни број'' (енг. ''propagation number''). Просторна дужина пуне осцилације, тј. ''просторни период'' је '''λ''', где је пуна осцилација једнака просторном размаку две најближе тачке у истој фази.
Ред 65:
У облику фазе, независно променљива у једналчини (3) се обично изражава у угаоним јединицама, као φ=kπ±ωт, где је '''ω''' угаона фреквенција у јединици времена, с чим је општи израз дводимензионалног синусоида:
 
: <math> \psi (x,t)=Asin \, (kx \pm \omega t)</math> (4)
 
Уколико његова почетна фаза није 0, него произвољан угао '''ε''', израз је:
 
: <math> \psi (x,t)=Asin \, (kx \pm \omega t+\varepsilon)</math> (4.1)
 
где је '''ε''' почетна фаза таласа.
Ред 79:
Стваран електромагнетни талас постоји у три [[димензија|димензије]], који је у [[Декартов координатни систем|Декартовом координатном систему]] описан диференцијалном једначином:
 
: <math> \frac {\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac {\partial^2 \psi}{\partial z^2} =\frac{1}{c^2} \frac {\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math> (5)
 
Два најважнија решења ове једначине су: (1) за раван покретни талас,
 
: <math> \psi (\vec{r},t)=Asin \, (\vec{k}\vec{r} \pm wt)</math> = <math> \psi (\vec{r},t)=Aexp[i(\vec{k}\vec{r} \pm wt)]</math> (6)
 
у обичном и [[Комплексан број|комплексном]] (десно) облику, где је <math>\vec{r}</math> просторни [[вектор]] који одређује удаљеност равни (тј. равног [[таласни фронт|таласног фронта]]) од извора, а <math>\vec{k}</math> је вектор кретања, у односу на који је [[раван]] нормална, и (2) за сферни покретни талас,
 
: <math> \psi (r,t)=\frac{A}{r}sin \, k(r \pm ct)</math> = <math> \psi (r,t)=\frac{A}{r}exp [ik(r \pm ct)</math> (6.1)
 
где су '''r''' и '''k''' [[Скалар (физика)|скаларне]] величине, а '''А''' је непроменљива звана снага извора (енг. ''source strength''). Величина А/r представља распон таласа, чији квадрат даје енергију, тј. јачину таласа, из чега следи да је она обрнуто сразмерна квадрату удаљености таласа од извора.
Ред 102:
 
=== Физички талас ===
 
 
[[Датотека:ЕЛЕКТРОМАГНЕТНИ ТАЛАС.png|thumb|Слика 5: ЕЛЕКТРОМАГНЕТНИ ТАЛАС]] Тродимензионални израз електромагнетног таласа још увек описује само његова просторна својства. Стварни електромагнетни талас се састоји од [[Електрично поље|електричног]] и [[Магнетно поље|магнетног поља]] која се у наизменичним осцилацијама крећу кроз простор. Ово поље силе је описано Максвеловим једначинама у општем облику:
 
: <math> \frac {\partial^2 \vec{S} }{\partial x^2}+\frac {\partial^2 \vec{S}}{\partial y^2}+\frac {\partial^2 \vec{S}}{\partial z^2} =\vec{\nabla}^2 \vec{S}=\epsilon_0 \mu_o \,\frac{1}{c^2} \frac {\partial^2 \vec{S}}{\partial t^2}</math> (7)
 
где је <math> \vec{S}</math> општа ознака за електромагнетну (ЕМ) силу, која обухвата појединачне векторске величине за електричну јачину поља '''Е<sub>x</sub>''', '''Е<sub>y</sub>''' и '''Е<sub>z</sub>''', и магнетну силу поља '''B<sub>x</sub>''', '''B<sub>y</sub>''' и '''B<sub>z</sub>''' - што значи да је талас описан са шест оваквих једначина за сваку од ових променљивих - '''ε<sub>0</sub>''' је пермитивност (енг. ''permittivity'', електрична пропусност средине или материјала), а '''μ<sub>0</sub>''' је пермеабилност (енг. ''permeability'', магнетна пропусност) вакуума. Из тога, брзина светлости је дата са <math>c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}</math>, на основу чега је Максвел дошао до вредности c~3x10^8 m/s.
Линија 112 ⟶ 110:
Пошто се физички талас састоји од два наизменично осцилујућа поља, електричног и магнетног, она су изражена са:
 
: <math>\vec{\nabla}^2 \vec{E}=\epsilon_0 \mu_o \,\frac{1}{c^2} \frac {\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}</math> (8),
 
и
 
: <math>\vec{\nabla}^2 \vec{B}=\epsilon_0 \mu_o \,\frac{1}{c^2} \frac {\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}</math> (8.1)
 
Израз за раван ЕМ талас изведен из овог општег облика је:
 
: <math>\vec{E} (\vec{r},t)=\vec{E_0}cos \, (\vec{k} \vec{r} - \omega t)=Re[\vec{E_0}exp [i(\vec{k} \vec{r} - \omega t)]]</math> (9)
 
за електрично, и
 
: <math>\vec{B} (\vec{r},t)=\vec{B_0}cos \, (\vec{k} \vec{r} - \omega t)=Re[\vec{B_0}exp [i(\vec{k} \vec{r} - \omega t)]]</math> (9.1)
 
за магнетно поље. Други израз је у оба случаја у комплексном облику, тј. као реални део комплексне таласне функције (реални део се обично подразумева, и назнака '''Re''' се изоставља).
Линија 130 ⟶ 128:
Просторни распоред два поља у односу на правац кретања, као и векторске величине поља и таласног кретања дате су изразом који проистиче из Максвелових једначина:
 
: <math>|\vec{k}| \times |\vec{E}|=\omega |\vec{B}|</math> (10)
 
где су периодни број '''k''' и [[учесталост]] '''ω''' у однvосу k=ω(με)<sup>1/2</sup> (тј. производ учесталости и реципрочне вредности брзине кретања светлости). Израз говори да су вектор правца кретања и два поља узајамно [[нормала|нормални]], и да су електрично и магнетно поље у фази.
Линија 136 ⟶ 134:
Распон електричног и магнетног поља, дати апсолутном вредношћу, тј. дужином вектора поља, се односе као:
 
: <math>|\vec{B}|=\frac{|\vec{k}|}{\omega}|\vec{E}|=\sqrt{\varepsilon \mu_0}|\vec{E}|=\frac{n}{c}|\vec{E}|</math> (11)
 
У [[вакуум]]у, распони електричног и магнетног поља су исте величине. Улога чиниоца '''c''' (светлосна брзина) је да усклади различите мерне јединице које се користе за вектор електричног и магнетног поља (на сличан начин, магнетно поље '''Н''' и поље [[магнетна индукција|магнетне индукције]] '''B''' су исте величине у вакууму, Н=B/μ<sub>0</sub>, јер је разлика у мерним јединицама - тесла за индукцију, и ампера по метру за магнетно поље - 1Т=10<sup>3</sup>x10<sup>4</sup>/4π А/m=(А/м<sup>-1</sup>/μ<sub>0</sub>).
Линија 146 ⟶ 144:
[[Датотека:ПОЈНТИНГ ВЕКТОР.png|thumb|Слика 6: ПОЈНТИНГ ВЕКТОР]] [[Енергија]] електромагнетног таласа је сразмерна вектор-производу (енг. cross product) вектора њеног електричног и магнетног поља. Коначна вредност зависи од електромагнетских својстава средине. У вакууму, енергија је дата као [[Појнтинг вектор]] (енг. Poynting, John Henry Poynting, енглески физичар који је ову величину установио у оквиру теорије електромагнетног поља у 1884, мада ју је први, десетак година раније, изразио руски физичар Никола́й Алексе́евич У́мов у оквиру решења проблема кретања енергије у течним и еластичним срединама). У изворном, наједноставнијем облику Појнтинг вектор је изражен [[производом]] вектора електричног (E) и магнетног поља (H) у вакууму:
 
: <math>\vec{P}=\vec{E} \times \vec{H}</math> (12)
 
који представља енергију електромагнетног поља у џулима (J) у секунди по m<sup>2</sup> - дакле, у ватима (W) по м<sup>2</sup>, јер је Ј/s=W - у правцу кретања таласа, тј. под [[прав угао|правим углом]] на раван вектора магнетског и електричног поља. Његова величина је функција времена, тј. таласног кретања, мењајући се са променом распона два поља.
Линија 152 ⟶ 150:
Пошто су два поља у функцији времена дата са:
 
: <math>\vec{E}=\vec{E}_0 \, cos(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)</math> (13)
 
и
 
: <math>\vec{H}=\vec{H}_0 \, cos(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)</math> (13.1)
 
израз који даје величину Појнтинг вектора у датом тренутку времена је:
 
: <math>\vec{P}=\vec{E}_0 \times \vec{H}_0 \, cos^2(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)</math> (14)
 
где '''Е<sub>0</sub>''' и '''H<sub>0</sub>''' означавају распон електричног и магнетног поља.
Линија 166 ⟶ 164:
Данас се Појнтинг вектор обично изражава у нешто другачијем облику, са вектором јачине магнетног протока (тј. индукције) уместо вектора магнетног поља '''H''' (H=B<sub>0</sub>/μ<sub>0</sub>=B/μ<sub>0</sub>-M, и B=μ<sub>0</sub>H+M, где је '''B<sub>0</sub>''' магнетно поље таласа у вакууму, а '''M''' магнетизација, тј. повећање магнетног поља '''М''' у материјалу). Пошто је у оптичким материјалима у распону таласних дужина светлости магнетна индукција средине занемарљива, тј. μ<sub>с</sub>~μ<sub>о</sub>, подобнији израз за Појнтинг вектор је онај који користи електричну пропустљивост '''ε'''. За светлосни талас у вакууму,
 
: <math>\vec{P}=c^2 \varepsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}</math> (15)
 
где је '''ε<sub>о</sub>''' електрична пропустљивост вакуума. У оптичкој средини као што је стакло, пропустљивост, дакле и вредност Појнтинг вектора, је обрнуто сразмерна индексу преламања.
Линија 172 ⟶ 170:
Због веома високих учесталости немогуће је мерити енергију на нивоу појединих таласа, те је практична мера светлосне енергије дата средњом вредношћу у одређеном временском периоду. Пошто је просечна вредност cos<sup>2</sup> 1/2, просечна вредност Појнтинг вектора је дата са:
 
: <math>\langle \vec{P} \rangle = \frac{1}{2} \vec{E}_0 \times \vec{H}_0= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\vec{E}_0^2 \equiv I </math> (16)
 
Овај просечан проток ЕМ енергије представља јачину (енг. ''intensity'') светлости. У случају светлости коју шаље светлосни извор ова јачина се назива израчење (енг. ''exitance''), а у случају упадне светлости, озрачење (енг. ''irradiance'').
Линија 191 ⟶ 189:
Енергија фотона је дата са:
 
: Е=hν=hc/λ (17)
 
где је h=6.6256x10-34 [[Планкова константа]], '''ν''' таласна учесталост, а '''λ''' таласна дужина. Пошто су и брзина светлости '''c''' и таласна дужина сразмерни индексу преламања '''n''', енергија фотона се не мења с променом '''n''', и остаје једнака 1240/λ Ev ([[Електронволт|електронволти]]). Ако је густина енергије светлосног тока (енг. flux density) '''Ф''' фотона кроз површину '''А''' у јединици времена, светлосна енергија је дата са Е=ФА, у истој временској јединици.
Линија 197 ⟶ 195:
Фотон нема масу - тј. не постоји - ако се не креће, а његова маса кретања (енг. ''momentum'') је дата са:
 
: p=Е/c=h/λ (18)
 
где је, као раније, '''c''' брзина а '''λ''' таласна дужина светлости. У векторској форми:
 
: p=h'''k''' (18.1)
 
где је '''k''' вектор периодног (таласног) броја, а векторски облик Планкове константе '''h'''='''k'''/2π.
Линија 223 ⟶ 221:
У тренутку кад светлост побуди атом 3, таласи у фази послати из атома 1 и 2, са таласом у фази из атома 3, стварају линију одбијеног таласног фронта чији је угао правца кретања у односу на нормалу на граничну линију исте величине али супротног знака у односу на упадни [[угао]] светлости. Другим речима, светлост се одбија под истим углом са супротне стране нормале на површину, у равни одређеној упадним зраком и нормалом на граничну површину. Ово је закон одбијања светлости, изражен са:
 
: α<sub>u</sub>=-α<sub>o</sub> (19)
 
где је '''α<sub>u</sub>''' упадни, а '''α<sub>o</sub>''' одбојни угао светлости.
Линија 239 ⟶ 237:
Појаве одбијања и пропуштања светлости на прелазу у средину са различитим индексом преламања описане су [[математика|математички]] Френеловим једначинама (Augustin Jean Fresnel, 1788-1827). Изведене на основу таласне теорије светлости, једначине изражавају однос између одбијеног и пропуштеног дела светлости. Овај однос се мења са особинама светлосног таласа. За с-поларизовану светлост (тј. са равни осцилације електричног поља нормалном на раван упадног зрака и нормале), распон одбијеног према пропуштеном делу поља је дат са:
 
: <math>\bot{o}=\frac{E_o}{E_u}=\frac{n_u cos(\alpha_u)-n_p cos(\alpha_p)}{n_u cos(\alpha_u)+n_p cos(\alpha_p)}</math> (20)
 
где је '''Е''' распон електричног поља, '''α''' је угао и '''n''' је индекс преламања, ознака '''u''' је за упадну, а '''p''' за средину преноса. Једначина је тачна под претпоставком да је магнетна пропустљивост обе средине иста као и за вакуум, што практично важи за уобичајене оптичке средине.
Линија 245 ⟶ 243:
У случају да је раван осцилације електричног поља паралелна са равни упадног зрака и нормале на површину (п-поларизована светлост), однос одбијеног и пренесеног светлосног поља дат је са:
 
: <math>\|{o}=\frac{E_o}{E_u}=\frac{n_p cos(\alpha_u)-n_u cos(\alpha_p)}{n_u cos(\alpha_p)+n_p cos(\alpha_u)}</math> (20.1)
 
[[Датотека:ОДБИЈАЊЕ СВЕТЛОСТИ.png|thumb|Слика 10: ОДБИЈАЊЕ СВЕТЛОСТИ]] Слика десно приказује промену количника распона електричног поља '''o''' са променом упадног угла за п-поларизовану светлост при прелазу из ваздуха (n=1) у [[стакло]] са индексом преламања n=1.5 (лево), за с-поларизовану светлост у истом случају (средина), и за п-поларизовану светлост при прелазу из стакла у [[ваздух]] или вакуум (десно), као и одговарајуће енергије. Упадни угао при ком је светлост без одбијања пренесена у другу средину назива се Брустеров угао (енг. ''Brewster's angle'').
Линија 253 ⟶ 251:
У случају да светлост пада на површину под правим углом, угао у односу на нормалу површине α=0, cosα=1, и једначине 20-20.1 се поједностављују у:
 
: <math>\bot{o}=\frac{E_o}{E_u}=\frac{n_u -n_p}{n_u +n_p}</math> (21)
 
за п-поларизовану светлост, и
 
: <math>\bot{o}=\frac{E_o}{E_u}=\frac{n_p -n_u}{n_u +n_p}</math> (21.1)
 
за с-поларизовану светлост
Линија 273 ⟶ 271:
Производ индекса преламања и синуса угла зрака у односу на нормалу на граничну линију у две средине је непроменљив, тј.
 
: sinα'/sinα=n/n', или n'sinα'=nsinα (22)
 
Нова орјентација таласног фронта је у правцу нагиба граничне површине, али увек мање од њега, јер је за два суседна површинска атома основа [[Троугао|троугла]] која одређује нову орјентацију таласног фронта, тј. зрака, сразмерна [(1/n)-(1/n')]/(1/n)=1-(n/n'), где су '''n''' и '''n'''' индекс преламања за прву и другу средину (дати израз важи за прелаз светлости из ваздуха у стакло, где је индекс за ваздух n=1, а '''n'''' је индекс преламања стакла).
Линија 279 ⟶ 277:
Снелов закон важи и за одбијање светлости, што је лако показати узимајући n=1 за упадну светлост, и n'=-1 за светлост која се одбија:
 
: n'sinα '= nsinα (закон преламања светлости), постаје закон одбијања светлости, sinα'=-sinα, тј α'=-α.
 
Као и закон одбијања, и закон преламања светлости се може извести из векторског
Линија 292 ⟶ 290:
Израз за вредност индекса преламања се заснива на Максвеловим једначинама електромагнетног поља, по којима је брзина светлости у вакууму дата са:
 
: <math>c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} </math> (23)
 
где су '''ε<sub>0</sub>''' и '''μ<sub>0</sub>''' електрична и магнетна пропусност вакуума (енг. ''permittivity/permeability''). Брзина простирања у другим срединама дата је са:
 
: <math>c'=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}=</math> (24)
 
где су '''ε''' и '''μ''' електрична и магнетна пропусност средине. Индекс преламања средине дат је са:
 
: <math>n=\frac{c}{c'}'=\sqrt {\frac{\varepsilon \mu}{\varepsilon_0 \mu_0}}</math> (25)
 
где је '''c'''' брзина простирања светлости у њој. Пошто се магнетна пропусност практично не мења у уобичајеним оптичким срединама у односу на вакуум, индекс рефракције средине је дат са:
 
: <math>n=\sqrt {\varepsilon}</math> (26)
 
[[Датотека:ИНДЕКС ПРЕЛАМАЊА.png|thumb|Слика 11: ИНДЕКС ПРЕЛАМАЊА]] Индекс преламања средине се мења са таласном дужином светлости. У распону таласних дужина светлости, смањује се од најкраћих таласних дужина (љубичасте) према дужим. Другим речима, различите таласне дужине светлости се у датој средини преламају различито. У начелу, краће таласне дужине се преламају јаче од дужих. Ово има као последицу дељење светлосних таласа вишеталасне светлости по преласку из једне у другу средину.
Линија 316 ⟶ 314:
До првог таквог израза дошао је 1836. француски математичар Огистон-Луи Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857), по њему познат као Кошијева једначина:
 
: <math>n_\lambda =A+\frac{B}{\lambda^2}+\frac{C}{\lambda^4}</math> (27)
 
где је '''λ''' таласна дужина, а '''А''', '''Б''', '''Ц'''... коефицијенти, чија вредност се одређује решавањем једначине за три познате вредности '''n''' и '''λ'''. У распону видљивог зрашења (светлости), Кошијева једначина је тачна до око једног стохиљадитог (један у петој децимали). За оптичка стакла су најчешће довољна само прва два члана.
Линија 322 ⟶ 320:
У 1871. немачки физичар Волфганг фон Селмејер (Wolfgang von Sellmeier) даје нешто сложенији израз, који није битно тачнији у распону светлости, али јесте у ширем распону електромагнетног зрачења, нарочито за [[Инфрацрвено светло|инфрацрвено зрачење]]:
 
: <math>n_\lambda^2 =1+\frac{B_1\lambda_0^2}{\lambda_0^2-C_1}+\frac{B_2\lambda_0^2}{\lambda_0^2-C_2}+\frac{B_3\lambda_0^2}{\lambda_0^2-C_3}</math> (28)
 
или, у општем облику:
 
: <math>n_\lambda^2 =1+\Sigma \frac{B_i\lambda_0^2}{\lambda_0^2-C_i}</math> (28.1)
 
где су '''B<sub>i</sub>''' и '''C<sub>i</sub>''' коефицијенти, први чисто бројни, други изражени у истој јединици као таласна дужина '''λ''' (зато понекад дати као λ<sub>i</sub>). За Селмејерову формулу са шест коефицијената (три B<sub>i</sub> и три C<sub>i</sub>) потребно је измерити индекс преламања за 6 различитих таласних дужина, на основу чега се одређују вредности коефицијената.
Линија 342 ⟶ 340:
Уобичајено мерило раздвојне моћи оптичке средине је ''Абеов број'', чији општи облик је:
 
: <math>V=\frac{n}{\delta n}</math> (29)
 
где је '''n''' индекс преламања средишње таласне дужине изабраног распона таласних дужина, а '''δn''' је разлика у индексу преламања између изабране кратке и дуге таласне дужине у датом распону. Избор распона и таласних дужина зависи од намене показатеља. У индустрији оптичког стакла, најчешће се користи Абеов број који као средишњу таласну дужину има [[Fraunhoferove linije|Фраунхоферву линију]] '''e''' или '''d''', као кратку таласну дужину Фраунхоферву линију '''F''', и као дугу '''C''':
 
: <math>V=\frac{n_e}{n_F-n_C}</math> (29.1)
 
Раздвојна снага је обрнуто сразмерна Абеовом броју: што је нижи, раздвојна снага је већа.
Линија 372 ⟶ 370:
У општем облику, слабљење светлосне енергије као последица упијања и распршења светлости изражено је са:
 
: I'=I-(а+s)z (30)
 
где су '''I''' и '''I'''' почетна и коначна енергија, '''а''' је коефицијент упијања, '''s''' је коефицијент распршења, и '''z''' је дужина пута кроз дату средину.
Линија 380 ⟶ 378:
Теоретски пренос енергије, у случају савршено уједначене оптичке средине датог индекса преламања '''n''', одређен је Френеловим једначинама. Једначине за одбијање светлости дате су у том одељку. Френелове једначине за пренос светлости у случају с-поларизоване и п-поларизоване светлости, као распон поља пренете светлости у јединици распона поља упадне светлости:
 
: <math>p_{\bot}=\frac{E_p}{E_u}=\frac{2n_u cos(\alpha_u)}{n_u cos(\alpha_u)+n_p cos(\alpha_p)}</math> (31),
 
и
 
: <math>p{\|}=\frac{E_p}{E_u}=\frac{2n_u cos(\alpha_u)}{n_u cos(\alpha_p)+n_p cos(\alpha_u)}</math> (31.1)
 
Енергија пренете светлости је у случају преламања дата са:
 
: <math>P=\frac{n_u \,cos \alpha_u}{n_p \,cos \alpha_p} p^2</math> (32)
 
[[Датотека:ШИРИНА СНОПА.png|thumb|Слика 14: ШИРИНА ПРЕЛОМЉЕНОГ СНОПА СВЕТЛОСТИ]] где је чинилац уз '''p<sup>2</sup>''' последица тога да, за разлику од одбијања светлости, код преламања светлост прелази у другу средиу, у којој се енергија, сагласно изразу за енергију поља I=2ncε<sub>0</sub>|Е|<sup>2</sup>, мења сразмерно n'/n, и тога што се површина таласног фронта мења због разлике у упадном и преломном углу (слика десно). На пример, пошто се енергија рачуна по јединици површине таласног фронта, повећање његове површине узрокује сразмерно смањење енергије по јединици површине и захтева примену обрнуто сразмерног чиниоца да би се енергија пренетог поља свела на исправну вредност).
Линија 396 ⟶ 394:
У случају да светлост пада на преламајућу површину под правим углом, угао у односу на нормалу површине α=0, cosα=1, и једначине 28-28.1 се поједностављују у:
 
: <math>p_{\bot}=\frac{E_p}{E_u}=\frac{2n_u}{n_u+n_p}</math> (33),
 
за с-поларизовану светлост и п-поларизовану светлост.
Линија 410 ⟶ 408:
Равномерно упијање енергије светлости, уобичајено у случају оптичког стакла и других оптичких материјала за општу употребу, је изражено са:
 
: I<sub>u</sub>=I-аz = I-аL/cosβ (34)
 
где је '''I''' почетна енергија, '''I<sub>u</sub>''' упијена енергија, '''а''' коефицијент упијања, обично по центиметру пута, и '''z''' дужина пута кроз дату средину, у истим јединицама као '''а''' (дужина пута '''z''' за дату осно-паралелну дужину '''L''' је обрнуто сразмерна [[Косинус|косинусу]] нагиба зрака, cosβ). У начелу, коефицијент упијања светлости се мења са таласном дужином. За оптичка стакла намењена преносу светлости је најчешће испод 1% по [[Центиметар|центиметру]] пута.
Линија 420 ⟶ 418:
Стопа упијања светлости изражена је коефицијентом упијања, који је дат са:
 
: а=4πк/λ<sub>v</sub> (35)
 
кде је '''к''', коефицијент слабљења, имагинарни део [[комплексни индекс преламања|комплексног индекса преламања]], а '''λ<sub>v</sub>''' таласна дужина светлости у вакууму. Реални део комплексног индекса преламања је једнак индексу преламања, који се не мења због губитака светлосне енергије, док његов имагинарни део одражава ефективну промену вредности индекса преламања и пермитивности у односу на (непромењени) распон магнетног поља (израз 11).
Линија 434 ⟶ 432:
Основни облик израза за губитак светлосне енергије услед распршења је исти као у случају апсорпције, с тим што је коефицијент упијања (и34) замењен коефицијентом распршења '''s''':
 
: I<sub>r</sub>=I-sz (36)
 
== Таласна својства светлости ==
Линија 491 ⟶ 489:
 
[[Датотека:КОХЕРЕНТНОСТ РЕЈЛИ.png|thumb|Слика 23: КОХЕРЕНТНО И НЕКОХЕРЕНТНО ЗБИРАЊЕ ТАЛАСА]] Слика десно приказује разлику у збирању кохерентне и некохерентне светлости на примеру слике два тачкаста извора на растојању Рејлијевог лимита, 1,22λF, где је '''F''' фокални рацио. У случају кохерентне светлости, збирање, а тиме и дифракциона слика, су условљени фазном разликом између два извора. Ако је разлика једнака π/2, слика је иста као за некохерентну светлост. У случају да је једнака нули, слике два извора се потпуно спајају, док су у случају фазне разлике '''π''' две слике потпуно раздвојене, јасније него у случају некохерентне светлости.
 
 
Делом кохерентни таласи се сабирају делом као енергија и делом на нивоу распона, у односу који зависи од степена кохерентности.
Линија 499 ⟶ 496:
Степен кохерентности светлости, дакле, одређује производ међусобног дејства светлосних таласа, што му даје теоретски и практични значај. У општем облику, степен кохерентности светлости изражен је функцијом узајамне кохерентности (енг. ''mutual coherence function''), такође званом функција узајамне, или заједничке јачине:
 
: <math>G(\vec{r_1}, \vec{r_2}, \tau)=\langle V^*(\vec{r_1},t_1)\, V(\vec{r_2},t_2) \rangle</math> (37)
 
где је <math>\vec{r}</math> просторни вектор који одређује положај тачке, '''t''' је временски период (који не мора да буде сразмеран апсолутној вредности просторног вектора, јер сталност брзине кретања таласа није претпостављена), τ=t<sub>1</sub>-t<sub>2</sub> је временски помак између две таласне функције, '''V''' је комплексна таласна функција датог таласа, и '''V*''' је комлексни везница (енг. ''complex conjugate''), тј. њена негативна вредност у комплекним координатама, V*=-V (употреба комплексне везнице V* уместо V је неопходна јер производ распона представља јачину, која је у основи квадратна, док су са [[фазор]]има као непосредним комплексним векичинама, тачне само линеарне операције).
Линија 507 ⟶ 504:
У случају да је r<sub>1</sub>=r<sub>2</sub>, функција узајамне кохерентности постаје само-однос (енг. ''self-correlation''), за исти талас у истој тачки али са временским помаком '''τ''', тј. постаје функција временске кохерентности (енг. ''temporal coherence function''):
 
: <math>G(\tau)=\langle V^*(t_1)\, V(t_2) \rangle = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac {1}{2T} \int_{-T}^{T} V^*(t_1)\, V(t_2) \,dt</math> (38)
 
У случају кад је t<sub>1</sub>=t<sub>2</sub>, тј. временска разлика τ=0, израз (38) представља функцију просторне кохерентности:
 
: <math>G(\vec{r_1}, \vec{r_2})=\langle V^*(\vec{r_1})\, V(\vec{r_2}) \rangle</math>
(39)
 
Линија 520 ⟶ 517:
Пошто је за израчунавање функције кохерентности неопходно знати физичка својства извора, практичнији је облик у ком је степен кохерентности изражен као непосредно мерљива сведена (енг. ''normalized'') вредност, дељењем функције кохерентности са јачином поља. Овим се добија тзв. комплексни степен кохерентности (енг. ''complex degree of coherence''), који се у општем облику може изразити као:
 
: <math>\gamma(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \tau)=\frac{G(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \tau)}{[I(r_1)I(r_2)]^{1/2}}</math> (40)
 
где је <math>I=G(\vec{r},\vec{r},0)=\langle |V(\vec{r},\vec{r},0)|^2 \rangle</math> просечна јачина таласа за r<sub>1</sub>=r<sub>2</sub>=р и τ=0, тј. у истој тачки за просторну кохерентност, или у истом тренутку времена за временску кохерентност.
Линија 526 ⟶ 523:
За временску кохерентност,
 
: <math>\gamma(\tau)=\frac{G( \tau)}{G_0}=\frac{\langle V(t_1)^*V(t_2) \rangle}{\langle V(t)^*V(t) \rangle}=\frac{I(\tau}{I(0)} </math> (41)
 
и за просторну:
 
: <math>\gamma(\vec{r}_1,\vec{r}_2) = \frac{G(\vec{r}_1,\vec{r}_2)}{G_r} = \frac{\langle V(r_1)^*V(r_2) \rangle}{\langle V(r)^*V(r) \rangle} = \frac{I(r_1,r_2)}{I(r)} </math> (42)
 
Општи израз (37), и сви изведени изрази, су мерило степена кохерентности првог реда. Степен кохерентности вишег реда укључује додатне тачке у случају просторне кохерентности, и додатне временске помаке у случају временске.
Линија 538 ⟶ 535:
Вредност комплексног степена кохерентности је неопходна за прорачун збирне јачине (енергије) светлосних таласа, која је за статистички устаљена светлосна поља (тј. она чији је просек промене фазе и распона у датом временском периоду сталан) дата са:
 
: <math>I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2} \gamma_{1,2} \delta_{1,2}</math> (43)
 
где је '''I''' јачина таласа, а '''δ''' њихова фазна разлика, као и за прорачун изражености линија укрштања у интерферометрима:
 
: <math>\upsilon=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}=\frac{I-I_1-I_2}{2\sqrt{I_1I_2}}</math> (44)
 
Комплексни степен кохерентности се такође користи за изражавање основних мерила кохерентности светлости: комплексни степен временске кохерентности за период кохерентности и одговарајућу дужину кохерентности, а комплекни степен просторне кохерентности за површину кохерентности.
Линија 554 ⟶ 551:
У случају кад извор има облик уског правоугаоног прореза, случај важан за екперименталне сврхе, [[Ситарт-Зерникеова теорија]] даје степен кохерентности светлости са оваквог извора у геометрији [[Јангов оглед|Јанговог огледа]], дакле са два мала отвора кроз које пролази светлост са проширеног извора и ствара линије укрштања, као синк функцију:
 
: <math>|\gamma_{1,2}|=\left | sinc \frac{W \theta}{\lambda} \right | =\left | sinc\frac{WD}{\lambda z} \right |</math> (45)
 
где је '''W''' ширина прореза, θ=D/z угаони размак две тачке на размаку '''D''' са даљине '''z''' у [[Фраунхоферов домен|Фраунхоферовом домену]], и '''λ''' таласна дужина светлости.
Линија 560 ⟶ 557:
У случају кружног некохерентног извора, степен кохерентности је представљен функцијом истоветном функцији ширења тачке, која се може изразити као сведена [[Беселова функција]] првог реда (J<sub>1</sub>):
 
: <math>|\gamma_{1,2}|=\left | \frac{2J_1 \left (\frac{\pi S \theta}{\lambda} \right ) } {\left ( \frac {\pi S \theta}{\lambda} \right ) } \right | =\left | \frac{2J_1 \left ( \frac{\pi SD}{\lambda z} \right ) } {\left ( \frac{\pi SD}{\lambda z} \right ) } \right | </math> (46)
 
где је '''θ''' угаони, а '''S''' линеарни пречник извора. Пошто је прво дно (енг. ''first minima'') - практично нула - ове функције за вредност аргумента (независно променљиве) 3,832, или 1,22π, полупречник кружнице унутар које се налази средишњи врх (енг. ''central maxima'') је:
 
: r=D/2=1,22λ/θ (47)
 
и назива се размак кохерентности (енг. ''coherence radius''). Сликовно, средиште ове функције кохерентности је на једном од два отвора, док вредност функције на удаљености другог отвора одређује степен кохерентности, тј. видљивост линија укрштања.
Линија 582 ⟶ 579:
У међудејству поларизованих таласа различитих својстава настају облици поларизације другачији од почетних таласа у међудејству. Коначан облик зависи од врсте поларизације таласа, њиховиог просторног односа, распона и фазне разлике. Најједноставнији случај је међудејство два линеарно поларизована таласа у фази, на истој линији кретања, чије су равни електричног осциловања нормалне једна на другу, и са истим распоном поља. У случају два таква таласа, који се могу изразити као:
 
: <math>E_x (x,t)=\hat{z}E_0 \, cosk(x-\tau)</math> и <math>E_x (x,t)=\hat{y}E_0 \, cosk(x-\tau)</math> (48)
 
где је '''Е''' таласни распон, исти за оба таласа, k=2π/λ је, као раније, периодни број, cos(x-vt) је таласна функција у којој је '''τ''' време у јединицама временске дужине таласног периода v=l/c, док су '''x''' и '''z''' јединични вектори, који означавају да су и сами распони векторске величине, и такође својим знаком одређују оријентацију равни осциловања. Слика .. (лево) показује збирну осцилацију ова два поларизована електрична поља са нормалним равнима осциловања за дате вредности тау. Произведен талас је је такође поларизован, са вектором распона датим векторским збиром два осцилујућа поља у свакој тачки простора/времена (ово у начелу важи и за таласе са различитим распонима, и са равнима осциловања под произвољним углом). Овај талас има исти период и фазу као два таласа од којих је настао, увећан распон и измењену орјентацију равни осциловања.
Линија 604 ⟶ 601:
У најједноставнијем примеру међудејства два линеарно, или равно поларизована кохерентна таласа, распон збирног поља је сразмеран векторском збиру распона два поља. Пошто је учесталост светлосних таласа сувише висока да би се распон непосредно мерио у практичним јединицама времена, за прорачун се користи јачина поља, једнака временском просеку квадрата распона поља:
 
: <math>I_{(1+2)} =\langle (\vec{E}_1+\vec{E}_2)^2 \rangle=\langle{\vec{E}_1^2 }\rangle + \langle {\vec{E}_2^2 }\rangle + 2\langle {\vec{E}_1 \vec{E}_2 }\rangle = I_1 + I_2 + 2I_{12} </math> (49)
 
где је последњи чинилац, 2I<sub>1</sub>I<sub>2</sub>, тзв. чнилац пеклапања (енг. ''interference term''). Овај чинилац показује да јачина збирног поља, за разлику од његовог распона, није једноставно збир јачина два поља, него једнака [[Збир|збиру]] јачина и чиниоца укрштања. Временски просек овог чиниоца је функција фазне разлике између два таласа:
 
: <math>I_{12}= 2\langle {\vec{E}_1 \cdot \vec{E}_2 }\rangle =\vec{E}_1 \cdot \vec{E}_2 cos\delta </math> (50)
 
где је фазна разлика <math>\delta=(\vec{k}_1 - \vec{k}_2) \vec{r}-\varphi_1-\varphi_2 </math> функција разлике у дужини оптичког пута '''r''' између два таласа, и такђе зависна од разлике у почетној фази, '''ψ'''.
Линија 614 ⟶ 611:
Додатно поједностављујући околности, у случају да су поља, тј. правци распона ова два таласа паралелни, векторски производ је једнак скаларном <math> \vec{E}_1 \cdot \vec{E}_2 =E_1 \cdot E_2 </math>, временски просек квадрата синусоидне функције cos<sup>2</sup>(kx-ωt) која описује <math> \langle E \rangle =E_0 cos(kx-\omega t)</math> је једнак 1/2, те је јачина првог таласа <math>I_1=\langle{E_1^2} \rangle = \frac{E_1^2}{2}</math>, јачина другог је <math>I_2=\langle{E_2^2} \rangle = \frac{E_2^2}{2}</math>, дакле <math>E_1^2=2I_1</math>, <math>E_2^2=2I_2</math>, и после замене на десној стани '''и39''', јачина збирног поља је дата са:
 
: <math>I_{(1+2)} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \, cos \delta </math> (51)
 
У складу с тим, збирна јачина оваква два таласа је највећа кад је cosδ=1, тј. за вредност фазне разлике '''δ''' од 0, +/-2π, +/-4π..., а најмања кад је cosδ=-1, тј. за вредности '''δ''' од +/-π, +/-3пπ... У зависности од знака чиниоца укрштања, збирна јачина два таласа може да буде већа или мања од простог збира јачина два таласа. У првом случају ради се о позитивном, а у другом о негативном укрштању.
Линија 620 ⟶ 617:
У случају да су ова два таласа такође једнаких распона, највећа јачина збирног таласа је четири пута већа од јачине самог таласа, док је најмања јачина једнака нули. У овом случају, израз (39) постаје I=2I<sub>0</sub>(1+cosδ) што, користећи косинусну једнакост cos2а=(1+cos2а)/2, води до:
 
: <math>I_{(1+2)} = 4I_0 \, cos^2 \frac{\delta}{2} </math> (52)
 
где је '''I<sub>0</sub>''' јачина једног таласа. Овакви услови постоје, у начелу, у Јанговом огледу (енг. ''Young experiment'') којим је Јанг произвео линије укрштања светлосних таласа (слика десно). Јангов експеримент је класичан пример преклапања светлости раздвајањем таласног фронта (енг. ''wavefront splitting''); други уобичајен начин добијања ових линија је раздвајањем таласног распона (енг. ''amplitude splitting''), где се део таласа одбијен од оптичке површине и део који је кроз њу преломњен усмеравају ка заједничкој тачки. Овај начин добијања линија укрштања први пут је употребљен у Миклсоновом огледу из 1887-ме (енг. ''Michaelson-Morley experiment'').
Линија 630 ⟶ 627:
У случају два некохерентна таласа, због сталних насумичних промена у фази два поља на врло високим учесталостима, она унутар практичних (тј. много дужих од 1/ω секунди) временских јединица не утичу једно на друго, тј. чинилац укрштања је једнак нули. Збирна јачина је једноставно збир појединачних јачина:
 
: <math>I= \langle \vec{E}_1 \rangle + \langle \vec{E}_2 \rangle = I_1 + I_2 </math> (53)
 
То говори да се некохерентна светлост, у начелу, не преклапа, тј. не производи тамне и светле линије укрштања.
Линија 636 ⟶ 633:
[[Датотека:УКРШТАЊЕ ТАЛАСА.png|thumb|Слика 29: УКРШТАЊЕ ТАЛАСА]] Слика десно приказује поларни граф јачине преклољених таласа за два врло мала отвора постављена као у Јанговом огледу, тако да се снопови таласа из њих срећу у фази у удаљеној (у односу на величину отвора и размак међу њима) тачки на средишњој линији нормалној на линију која спаја два отвора. Ако су таласи из два отвора истог распона, њихова збирна јачина је највећа у средишњој тачки, и опада са повећањем угла '''θ''' под којим се два снопа срећу. Начин на који јачина слаби са повећањем угла, тј. изглед линија укрштања, зависи од размака '''S''' између два отвора, сагласно изразу:
 
: <math>I=4I_0 \, cos^2(\frac{\pi}{\lambda} S \, sin\theta)</math> (54)
 
За S=λ/2 (граф десно, непрекидна линија), укрштање таласа производи само широку средишњу светлу линију угаоне ширине од око 90°, док на већим угловима збирна јачина пада на нулу. Са два пута већим размаком '''S''', средишња линија се сужава, а две шире, али знатно слабије линије укрштања се појављују у углу од 45 до 90 степени (граф десно, испрекидана линија). С даљим повећањем размака, на 6λ (граф лево), линије укрштања се умножавају у широком углу, и за сразмерно мале углове око средишње линије су исте ширине, и приближно исте јачине.
Линија 644 ⟶ 641:
Ако два таласа нису ни потпуно кохерентна, ни потпуно некохерентна, него у односу делимичне кохерентности, збирна јачина два таласа је условљена не само фазном разликом међу њима, него и њиховим степеном кохерентности. У случају два таласа, збирна јачина у тачки међудејства дата је са:
 
: <math>I_{(1+2)}= I_1 + I_2 + \sqrt{2I_1 I_2}cos \delta \, Re {\gamma_{1,2} }</math> (55)
 
где је Reγ<sub>1,2</sub>=|gama<sub>1,2</sub>cosφ стварни део комплексног степена кохерентности ('''φ''' је фаза '''γ<sub>1,2</sub>'''), који представља степен узајамне кохерентности светлосних таласа у датом временском периоду, са апсолутном вредношћу која се креће од 1 за кохерентну до 0 за некохерентну светлост, док вредности између њих представљају делом кохерентну светлост.
Линија 652 ⟶ 649:
Израженост линија укрштања зависи од висине највеће и најмање јачине таласа у преклапању. Дата је Микелсоновом формулом:
 
: <math>\vartheta=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}</math> (56)
 
где '''I''' представља збирну јачину таласа I<sub>(1+2)</sub>. Ова вредност је увек између 0 и 1, где прва означава потпуно одсуство линија укрштања (тј. постоји само равномерна осветљеност), а друга да су линије укрштања највише изражене. Користећи, на пример, израз за збирну јачину два кохерентна таласа (и38), добија се да је израженост линија укрштања. У случају да су два поља иста и паралелна, израженост је највиша могућа, тј. 1.
Линија 676 ⟶ 673:
Површине Френелових зона су практично једнаке, а таласни допринос две суседне зоне у тачки на оси ('''P''', слика десно) је, због полупериода, супротног знака, јер су две половине периода као слике у огледалу, где свака тачка у једној половини има тачку супротног знака у другој (мали оквир на слици ..). Парови суседних зона такође имају приближно исти чинилац угла израчења, К(χ)=(1-cosθ)/2, који је Френел увео да би појам Хајгенсовог таласића довео у склад са запажањем да јачина светлости слаби са повећањем угла у односу на правац кретања таласног фронта. Према томе, таласни допринос парови суседних зона у осној тачки се приближно потире, тако да се збирни распон за неограничену површину таласног фронта своди на допринос средишње зоне (чак и када је број зона паран, јер допринос најудаљенијих зона тежи нули). Као временски просек, овај збирни распон у тачки '''P''' је приближно једнак половини распона средишње зоне, тј.
 
: <math>E_P~E_0/2=\frac{A}{r_0+r} \lambda exp{-i[\omega t - k(r_0+r)- \pi /2 ]}</math> (57)
(57)
 
где је '''А''' распон основног таласа, а '''ω''', '''t''' и '''k''' су, као раније, учесталост, временска променљива и периодни број. Општи облик израза за ѕбирни распон у тачки поља може се представити интегралом:
 
: <math>E_P=A\frac{exp[\omega t - k(r_0+r)]}{r_0} \int \int_S \frac{iks}{s} K(\psi) \, dS </math> (58)
 
где '''S''' представља јединичну малу површину на које је издељен таласни фронт, и по којима се врши интеграција, док сам [[интеграл]] представља збирни допринос распону од стране Хајгенсових таласића.
Линија 697 ⟶ 693:
Ако се положај тачке изрази векторском величином, Рејли-Сомерфелд дифракциони инеграл се може изразити као:
 
: <math>V(\vec{r}';z_p)=\frac{1}{\lambda} \int \, V(\vec{r}';0)(\frac{z_p}{ks}-\imath z_p) \frac{exp[\imath ks]}{s^2}d\vec{r}</math> (59)
 
[[Датотека:ГЕОМЕТРИЈА ДИФРАКЦИОНИ.png|thumb|Слика 32: ГЕОМЕТРИЈА ДИФРАКЦИОНОГ ПРОРАЧУНА]] где је <math>V(\vec{r'};z_p)</math> збирни распон поља у тачки посматрања одређеној даљином равни посматрања '''z<sub>p</sub>''' и просторним вектором <math>\vec{r}'</math> у тој равни, и k=2π/λ је таласни број (слика десно). Раздаљина између тачке у отвору и тачке у равни посматрања дата је са:
 
: <math>s=[z_p^2+|\vec{r}'-\vec{r}|^2]^{1/2}=z_p+\frac{(\vec{r}-\vec{r}')^2}{2z_p}-\frac{(\vec{r}-\vec{r}')^4}{8z_p^3}+...</math> (59.1)
 
Квадратни чинилац у [[биномијални низ|биномијалном низу]] има математички облик [[дефокус]] [[Оптичка аберација|аберације]] и, мада није непосредно повезан са дефокусом као оптичком аберацијом, назива се чиниоцем дефокуса. Слично, чинилац четвртог степена је чинилац сферне аберације.
Линија 723 ⟶ 719:
Пошто је општи израз за површину Френелове зоне дат са:
 
: <math>A=\frac{\pi \lambda \rho z_p}{\rho+z_p} </math> (60)
 
где је '''ρ''' полупречник таласног фронта, број Френелових зона у отвору је дат са:
 
: <math>A=\frac{\pi d^2}{A} = \frac{(\rho+z_p)d^2}{\rho z_p \lambda}</math> (61)
 
што се са ρ-инф поједностављује у Б=d<sup>2</sup>/λz<sub>p</sub>. Замењујући '''z<sub>p</sub>''' са d<sup>2</sup>/λ, даје да је на тој удаљености у отвору само једна, средишња Френелова зона. Сходне томе, Фраунхоферов домен се може дефинисати и као домен прве Френелове зоне.
Линија 747 ⟶ 743:
Оптичка слика је често намењена непосредном посматрању. Зато је начин на који светлост делује на [[људско око]] и [[мозак]] важан и неизбежан део оптике као науке. Две основне области у овом погледу су осетљивост ока на јачину светлости (енг. ''eye intensity response'') и спектрална осетљивост ока (енг. ''eye spectral response'').
 
== ИзвориЛитература ==
{{refbegin|2}}
 
* ''Optical imaging and aberrations I-II'', V.N. Mahajan 1998
* ''Optics'', E. Hecht 1975
Линија 756 ⟶ 752:
* ''Aberration theory made simple'', V.N. Mahajan 1991
* ''Astronomical optics'', D. Schroeder 1987
{{refend}}
 
[[Категорија:Оптика]]