Википедија

Теорија скупова — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
.
м Разне исправке; козметичке измене
Ред 1:
[[ImageДатотека:Venn A intersect B.svg|thumb|right|[[Венов дијаграм]] који илуструје [[Пресек (теорија скупова)|пресек]] два [[скуп]]а.]]
 
'''Теорија скупова''' је математичка теорија добро дефинисаних колекција објеката које зовемо скуповима. Ови објекти се зову елементи [[скуп]]а. Чиста теорија скупова је она теорија у којој су елементи скупа опет скупови. Срж теорије скупова је проучавање бесконачних скупова. У теорији скупова скупови су дати аксиоматски, тј њихово постојање и основна својства су дата одговарајућим формалним [[аксиомама]]. Формални језик чисте теорије скупова допуштају да се формализују сви математички појмови. На тај начин теорија скупова постаје стандардна основа математике пошто сваки математички објект може да се види као скуп и свака теорема математике може логички бити изведена предикатским рачуном из аксиома теорије скупова.
Ред 8:
[[Датотека:Georg Cantor 1894.jpg|thumb|160px|[[Георг Кантор]] ]]
 
Математичке теме се обично се појављују и развијају путем међусобних интеракција многих истраживача. Теорију скупова је, међутим, утемељио један рад [[Георг Кантор|Георга Кантора]] из 1874: „[[Georg Cantor's first set theory article|О својствима колекције свих реалних алгебарских бројева]]“.<ref name="cantor1874">{{citation |last=Cantor|first=Georg |last=Cantor|author-link=Georg Cantor |title=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen |journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. Reine Angew. Math.]] |volume=77 |year=1874 |issue= |pages=258–262 |url = http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583 |doi=10.1515/crll.1874.77.258 |pages=258–262}}</ref><ref>{{citation |last=Johnson|first=Philip |last=Johnson |year=1972 |title=A History of Set Theory |publisher=Prindle, Weber & Schmidt |isbnid=ISBN 0-87150-154-6 }}</ref>
 
Од 5. века п. н. е, почевши са [[Грчка математика|грчким]] математичаром [[Зенон из Елеје|Зеноном из Елеје]] на Западу, и раних [[Индијска математика|Индијских математичара]] на Истоку, математичари су се борили са концептом [[бесконачност]]и. Посебно значајан је рад [[Бернард Болцано|Бернарда Болцана]] у првој половини 19. века.<ref>{{Citation|last=Bolzano|first=Bernard|author-link=Bernard Bolzano|editor-last=Berg|editor-first=Jan|title=Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre|page=152|series=Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al.|volume=Vol. II, A, 7|publisher=Friedrich Frommann Verlag|location=Stuttgart, Bad Cannstatt|isbnid=ISBN 3-7728-0466-7|year=1975|pages=152}}</ref> Савремено схватање бесконачности је настало током периода 1867–71, са Канторовим радом на [[Теорија бројева|теорији бројева]]. Један састанак Кантора и [[Јулијус Вилхелм Рихард Дедекинд|Рихарда Дедекинда]] из 1872. године је имао утицаја на Канторова размишљања и кулминирао је његовом публикацијом из 1874. године.
 
Канторов рад су иницијално популаризовали његови савременици. Док су [[Карл Вајерштрас]] и Дедекинд подржавали Кантора, [[Леополд Кронекер]], који се у данашње време сматра оснивачем [[Конструктивистичка математика|математичког конструктивизма]], није. Канторова теорија скупова је временом постала широко прихваћена, због корисности њених концепата, попут [[Бијекција|бијекције]] међу скуповима, његовог доказа да постоји више [[Реалан број|реалних бројева]] него [[Цео број|целих бројева]], и концепата као што је „бесконачност бесконачности“ („[[Cantor's paradise|Канторов рај]]“) која произилази из операција [[Партитивни скуп|партитивног скупа]]. Корисност теорије скупова је довела до чланка -{„[[Grundzüge der Mengenlehre|''Mengenlehre'']]“}-, који је [[Arthur Schoenflies|Артур Шенфлис]] написао за [[Klein's encyclopedia|Клајнову енциклопедију]] 1898. године.
Ред 31:
На тај начин неке колекције као што су колекција свих скупова, колекција свих ординалних бројева, колекција свих кардиналних бројева, нису скупови. Овакве колекције се зову праве класе.
 
Да би се избегли парадокси и добила чврста основа теорије, теорија скупова је аксиоматизована. Прву аксиоматизацију теорије је дао Цермело који је избегао Раселов парадокс аксиомом раздвајања која квантифицира својства скупа преко тврдње другог реда. Сколем ({{јез-нор|Thoralf Skolem}}) и Френкел ({{јез-енг|Abraham Fraenkel}}) су аксиому раздвајања формализовали формулама првог реда а затим увели аксиому замене која је била нужна да би се подупро развој теорије трансфинитних ординала и кардинала. Даљи рад у циљу побољшања Цермелове теорије је био на доказивању основних чињеница теорије скупова као што је тврдња да се сваки скуп садржи у неком транзитивном скупу, тј. скупу који садржи све елементе сопствених елемената. Фон Нојман ({{јез-енг|John von Neumann}}) је додао аксиому основе чиме је створен стандардни аксиоматички систем теорије скупова који се зове Цермело-Френкел аксиоме са аксиомом избора.
 
== Аксиоме теорије скупова ==
У овој секцији изложићемо, у кратким цртама, Цермело-Френкел аксиоме са аксиомом избора (ЦФИ). Цела аксиоматика ће бити изложена у [[логика првог реда|логици првог реда]] са само једном бинарном релацијом припадности <math>\in</math>.
* Аксиома проширења: Два скупа <math>A</math> и <math>B</math> су једнаки ако имају исте елементе.
* Аксиома празног скупа: Скуп који нема елементе зове се празан скуп и означава са <math>\emptyset</math>.
Ред 115:
 
== Референце ==
{{Reflistreflist|30em}}
 
== Литература ==
{{refbegin|30em}}
* -{Godehard Link (editor): One Hundred Years of Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy, Walter de Gruyter, Berlin-New York 2004}- 2004
* Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović, Boban Veličković: Teorija skupova,. ISBN 978-86-7589-058-4, Matematički fakultet, Beograd
* -{Andras Hajnal, Peter Hamburger: Set Theory, Cambridge University Press, Nov 11, 1999}- 1999
* -{[[Keith Devlin|Devlin, Keith]], 1993. ''The Joy of Sets'' (2nd ed.). Springer Verlag,}-. {{page|year=|id=ISBN 0-387-94094-4|pages=}}-
* -{Ferreirós, Jose, 2007 (1999). ''Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics''. Basel, Birkhäuser.}-. ISBN {{page|year=|isbn=978-3-7643-8349-7|pages=}}-
* -{Johnson, Philip, 1972. ''A History of Set Theory''. Prindle, Weber & Schmidt}-. {{page|year=|id=ISBN 0-87150-154-6|pages=}}-
* {{cite book|author=-{[[Kenneth Kunen|Kunen, Kenneth]], 1980. ''|title=[[Set Theory: An Introduction to Independence Proofs]]''. |location=|publisher=North-Holland, |year=|id=ISBN 0-444-85401-0.|pages=}}}-
* -{Potter, Michael, 2004. ''Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction''. [[Oxford University Press]].}-
* -{Tiles, Mary, 2004 (1989). ''The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise''. [[Dover Publications]].}-. ISBN {{page|year=|isbn=978-0-486-43520-6|pages=}}-
{{refend}}
 
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Теорија_скупова”