Логаритам — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот: уклоњен шаблон: Link FA |
. |
||
Ред 1:
[[Датотека:Logarithms.png|мини|315п|Логаритми различитих основа: црвени је за основу ''e'', зелени за основу 10, а љубичасти за основу 1.7. Логаритми свих основа пролазе кроз тачку (1,0).]]
У [[математика|математици]] '''логаритам''' је [[Функција (математика)|функција]] која одређује [[Експоненцијална функција|експонент]] у једначини ''-{b}-''<sup>''-{n}-''</sup> = ''x''. Логаритам је инверзна функција у односу на експоненцијалну. Обично се пише као -{log}-<sub>''-{b}-''</sub> ''x'' = ''-{n}-''. Пример:
: <math>\!\, 3^4 = 81 \Leftrightarrow \log_3 81 = 4 </math>
Ред 13:
'''Дискретни логаритам''' се помиње у теорији коначних група. Верује се да је за неке коначне групе дискретни логаритам веома тешко израчунати, док је дискретне експоненцијале веома лако израчунати. Ова асиметрија има примене у [[криптографија|криптографији]].
Логаритам за базу {{math|10}} (где је {{math|1=''b'' = 10}}) зове се [[општи алгоритам]] и има неколико примена у науци и инжењерству. [[Природни логаритам]] има [[Број е|број {{nowrap begin}}{{math|''e''}}]] ({{math|≈ 2.718}}{{nowrap end}}) као базу; његова примена је раширена у математици и [[физика|физици]], због свог једноставнијег [[извод]]а. [[Бинарни логаритам]] користи базу {{math|2}} (где је {{math|1=''b'' = 2}}) и често се користи у [[рачунарство|рачунарству]].
Логаритме је увео [[Џон Непер]] почетком 17. века ради поједностављења прорачуна. Они се увелико користе од стране навигатора, научника, инжењера и осталих како би се рачунарски прорачуни извршавали много лакше, користећи [[логаритмар]] и [[Математичка табла|логаритамске таблице]]. Заморно вишецифрено множење могу заменити таблице с једноставним сабирањем због чињенице — веома важне — да је логаритамски [[производ]] заправо [[збир]] логаритама фактора:
:<math> \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y), \,</math>
где су {{math|''b''}}, {{math|''x''}} и {{math|''y''}} сви позитивни и {{math|''b'' ≠ 1}}.
Данашњи појам логаритма долази од [[Леонард Ојлер|Леонарда Ојлера]], који је направио везу између логаритама и [[експоненцијална функција|експоненцијалне функције]] у 18. веку.
[[Логаритамска скала]] смањује широк спектар величина на мање простора. На примјер, [[децибел]] је [[мерна јединица]] јачине сигнала снаге лог-односа и амплитуде лог-односа (од којих је [[звучни притисак]] чест пример). У хемији, -{[[pH]]}- је логаритамска мера за [[киселина|киселост]] [[водени раствор|воденог раствора]]. Логаритми су уобичајени у научним [[формула]]ма, те у мерама [[Рачунарска теорија сложености|комплексности алгоритама]] и геометријских објеката званих [[фрактал]]и. Они описују [[Интервал (музика)|музичке интервале]], појављују се у формулама бројећи [[прости број|просте бројеве]], информишу неке моделе у [[психофизика|психофизици]], те могу помоћи у [[форензичко рачуноводство|форензичком рачуноводству]].
На исти начин како логаритам служи [[Експоненцијација|експоненцији]], [[комплексни логаритам]] је [[инверзна функција]] експоненцијалне функције примењене на [[комплексни број|комплексне бројеве]]. [[Дискретни логаритам]] је наредна варијанта; користи се у [[асиметрична криптографија|асиметричној криптографији]].
== Мотивација и дефиниција ==
Идеја логаритама је да обрну операцију [[Експоненцијација|експоненцијације]], то јесте, степеновање броја одређеним степеном. На пример, трећи степен (или [[коцка (алгебра)|коцка]]) од 2 јесте 8, јер је 8 производ три фактора 2:
:<math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8. \,</math>
То значи даје логаритам од 8 са базом 2 управо 3, тако да је -{log}-<sub>2</sub> 8 = 3.
=== Експоненција ===
Трећи степен неког броја -{''b''}- јесте производ три фактора од -{''b''}-. Уопштеније, степеновањем -{''b''}- на {{nowrap|-{''n''}--ти}} степен, где је -{''n''}- [[природни број]], ради се множењем -{''n''}- фактора од -{''b''}-. {{nowrap|-{''n''}--ти}} степен од -{''b''}- се пише као -{''b''<sup>''n''</sup>}-, тако да је
:<math>b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ factors}}.</math>
Eкспоненција се може проширити на -{''b''<sup>''y''</sup>}-, где је -{''b''}- позитивни број и ''експонент'' ''y'' је било који [[реални број]]. На пример, -{''b''}-<sup>−1</sup> је реципрочан од -{''b''}-, то јесте, {{nowrap|1/-{''b''}-}}.
=== Дефиниција ===
''Логаритам'' позитивног реалног броја ''x'' са базом -{''b''}-, позитивни реалан број неједнак са 1{{refn|Рестрикције на ''x'' и -{''b''}- су описане у секцији [[#Аналитичка својства|"Аналитичка својства"]].|group=nb}}, јесте експонент којим -{''b''}- мора бити степенован да се добије ''x''. Другим речима, логаритам од ''x'' за базу -{''b''}- је решење ''y'' за једначину<ref>{{Citation |last1=Kate |first1=S.K. |last2=Bhapkar |first2=H.R. |title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications |isbn=978-81-8431-755-8 |year=2009 |url=https://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PR1#v=onepage&q&f=false}}, поглавље 1</ref>
: <math>b^y = x. \, </math>
Логаритам је описан -{„log<sub>''b''</sub>(''x'')“}- (чита се „логаритам од ''x'' за базу -{''b''}-“. У једначини -{''y'' = log<sub>''b''</sub>(''x'')}-, вредност ''y'' је одговор на питање „На који степен мора бити -{''b''}- дигнут, да би се добио ''x''?“. Ово питање може такође бити упућено (са богатијим одговором) за [[комплексни број|комплексне бројеве]], што је показано у секцији [[#Комплексни логаритам|„Комплексни логаритам“]].
=== Примери ===
На пример, {{nowrap|-{log}-<sub>2</sub>(16) {{=}} 4}}, пошто је {{nowrap|2<sup>4</sup> {{=}} 2 ×2 × 2 × 2}} {{=}} 16. Логаритми такође могу бити негативни:
:<math>\log_2 \!\left( \frac{1}{2} \right) = -1,\, </math>
pošto je
: <math>2^{-1} = \frac 1 {2^1} = \frac 1 2.</math>
Трећи пример: -{log}-<sub>10</sub>(150) је приближно 2.176, што лежи између 2 и 3, као што 150 лежи између {{nowrap|10<sup>2</sup> {{=}} 100}} i {{nowrap|10<sup>3</sup> {{=}} 1000}}. Коначно, за било коју базу -{''b''}-, {{nowrap|-{log<sub>''b''</sub>(''b'')}- {{=}} 1}} и {{nowrap|-{1=log<sub>''b''</sub>(1) = 0}-}}, пошто важи {{nowrap|-{''b''<sup>1</sup> {{=}} ''b''}-}} и {{nowrap|-{''b''}-<sup>0</sup> {{=}} 1}}, редом.
== Логаритамска и експоненцијална функција: инверзне функције ==
Линија 49 ⟶ 83:
== Употребе логаритамске функције ==
Логаритми су корисни у решавању једначина где је непознат експонент. Логаритми имају прост извод, тако да се често користе као решења интеграла. Даље, велики број јединица у науци се изражава преко логаритама других јединица; погледати [[логаритамска скала|логаритамску скалу]] за објашњење и листу јединица.
=== Лакше рачунице ===
Линија 66 ⟶ 99:
|}
Пре употребе електронских калкулатора, ово је чинило тешке операције са два броја лакшим. Једноставно би нашли логаритам оба броја (за множење и дељење) или само првог броја (за кореновање или где је један број већ експонент) у логаритамској таблици и извршили простију операцију над њима.
=== Математичка анализа ===
Линија 76 ⟶ 108:
Може се видети да следећа формула даје интеграл логаритамске функције
: <math>\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C</math>
== Одређене базе ==
Међу свим изборима за базу, три су посебно честа. То су -{''b''}- = 10, -{''b''}- = [[Број е|-{''e''}-]] ([[Ирационалан број|ирационална]] математичка константа ≈ 2,71828), и -{''b''}- = 2. У [[Математичка анализа|математичкој анализи]], логаритам за базу -{''e''}- је раширен због својих одређених аналитичких својстава објашњених испод. У другу руку, алгоритми с базом 10 су једноставни за корисшћење за ручне прорачуне у децималном бројном систему:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, N.Y.|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|year=2003}}, chapter 17, str. 275</ref>
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x).\ </math>
Тако, -{log}-<sub>10</sub>(''x'') је везан за број [[Декадни систем|децималних бројева]] позитивног целог броја ''x'': број бројки је најмањи [[цели број]] стриктно већи од -{log}-<sub>10</sub>(''x'').<ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, str. 20</ref> На пример, -{log}-<sub>10</sub>(1430) је приближно 3,15. Следећи цели број је 4, што је број цифара од 1430. И природни логаритам и логаритам за базу 2 се користе у [[информациона теорија|информационој теорији]], што одговара употреби [[Нат (јединица)|нату]] или [[бит]]овима као основним јединицама информације, респективно.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=9780521467605|page=3|url=https://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3}}</ref> Бинарни логаритми су такође кориштени у [[рачунарство|рачунарству]], где је [[бинарни бројни систем]] свеприсутан, у [[Теорија музике|музичкој теорији]], где је однос висине тона два ([[октава]]) свеприсутан и [[Цент (музика)|цент]] је бинарни логаритам (умањен за 1200) од односа између два суседна једнако смирена тона, те у [[фотографија|фотографији]] за мерење вредности излагања.<ref>{{citation|title=The Manual of Photography |first1=Elizabeth |last1=Allen |first2=Sophie |last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis |year=2011|isbn=9780240520377|page=228|url=https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228}}</ref>
Следећа табела показује честе нотације за логаритме за ове базе и поља где се користе. Доста дисциплина пише -{log}-(''x'') уместо -{log<sub>''b''</sub>(''x'')}-, када се изабрана база може одредити из контекста. Нотација -{<sup>''b''</sup>log(''x'')}- такође се појављује.<ref>{{Citation| url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html |author1=Franz Embacher |author2=Petra Oberhuemer |title=Mathematisches Lexikon |publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium |accessdate=22. 3. 2011 |language= }}</ref> Колона "ISO нотација" показује препоруке од [[Међународна организација за стандардизацију|-{ISO}- организације]], (-{[[ISO 31-11]]}-).<ref>{{Citation| title = Guide for the Use of the International System of Units (SI)|first=B. N. |last=Taylor |publisher = US Department of Commerce|year = 1995|url = http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2}}</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
! scope="col"|База -{''b''}-
! scope="col"|Име за -{log<sub>''b''</sub>(''x'')}-
! scope="col"|-{ISO}- нотација
! scope="col"|Друге нотације
! scope="col"|Користи се у
|-
! scope="row"|2
| [[бинарни логаритам]]
| -{lb(''x'')}-<ref name="gullberg">{{Citation|title = Mathematics: from the birth of numbers.|author = Gullberg, Jan|location=New York|publisher = W. W. Norton & Co|year = 1997|isbn=978-0-393-04002-9}}</ref>
| -{ld(''x''), log(''x''), lg(''x'')}-,<ref>Погледати фусноту 1 у {{cite journal|last1=Perl|first1=Yehoshua|last2=Reingold|first2=Edward M.|title=Understanding the complexity of interpolation search|journal=Information Processing Letters|date= 1977|volume=6|issue=6|pages=219–222|doi=10.1016/0020-0190(77)90072-2}}</ref> -{log2(''x'')}-
| [[рачунарство]], [[информациона теорија]], [[музичка теорија]], [[фотографија]]
|-
! scope="row"|''e''
| [[природни логаритам]]
| -{ln(''x'')}-{{refn|Неки математичари не подржавају ову нотацију. У његовој аутобиографији из 1985., [[Паул Халмос|Пол Халмош]] је критиковао оно што је сматрао „дечија -{ln}- notacija“, за коју је рекао да је ниједан математичар никад није користио.<ref>
{{Citation
|title = I Want to Be a Mathematician: An Automathography
|author = Paul Halmos
|publisher = Springer-Verlag
|location=Berlin, New York
|year = 1985
|isbn=978-0-387-96078-4
}}</ref>
Нотацију је увео [[Irving Stringham|Ирвинг Стрингхем]], математичар.<ref>
{{Citation
|title = Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis
|author = Irving Stringham
|publisher = The Berkeley Press
|year = 1893
|page = xiii
|url = https://books.google.com/?id=hPEKAQAAIAAJ&pg=PR13&dq=%22Irving+Stringham%22+In-natural-logarithm&q=
}}</ref><ref>
{{Citation|title = Introduction to Financial Technology|author = Roy S. Freedman|publisher = Academic Press|location=Amsterdam|year = 2006|isbn=978-0-12-370478-8|page = 59|url = https://books.google.com/?id=APJ7QeR_XPkC&pg=PA59
}}</ref>|name=adaa|group=nb}}
| -{log(''x'')}-<br />(у математици <ref>видјети теорему 3.29 у {{cite book|last1=Rudin|first1=Walter|title=Principles of mathematical analysis|date=1984|publisher=McGraw-Hill International|location=Auckland|isbn=978-0070856134|edition=3rd |series= International student}}</ref> и више [[програмски језик|програмских језика]]{{refn|На пример [[C (programski jezik)|-{C}-]], [[Java (programski jezik)|Јава]], [[Haskel (programski jezik)|Хаскел]] и -{[[BASIC]]}-.|group=nb}})
| математика, физика, хемија,<br />[[статистика]], [[економија]], информациона теорија, и нека поља инжењерства
|-
! scope="row"|10
| [[општи логаритам]]
| -{lg(''x'')}-
| -{log(''x''), log<sub>10</sub>(''x'')}-<br />(у инжењерству, биологији, астрономији)
| различита [[инжењерство|инжењерска поља]] (погледати [[децибел]] и остало испод), <br />логаритамске [[Математичка таблица|таблице]], ручни [[дигитрон]], [[спектроскопија]]
|}
== Историја ==
{{Главни|Историја логаритама}}
'''Историја логаритама''' у Европи у 17. веку јесте откриће нове [[функција (математика)|функције]] која је проширила стварност анализе иза опсега алгебарске методе. Методу логаритама је објавио [[Џон Непер]] 1614. године, у књизи с насловом -{''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio''}- (''Опис чудесног правила логаритама'').<ref>{{citation |first=John |last=Napier |author-link=John Napier |title=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio |trans_title=The Description of the Wonderful Rule of Logarithms |language= |location=Edinburgh, Scotland |publisher=Andrew Hart |year=1614 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001 }}</ref><ref>{{Citation|first=Ernest William |last=Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> Пре Наперовог изума, постојале су сличне технике сличног опсега, као што су простафереза или кориштење таблица прогресије, које је екстензивно развио [[Јост Бирги]] око 1600. године.<ref name="folkerts">{{citation |first1=Menso |last1=Folkerts |first2=Dieter |last2=Launert |first3=Andreas |last3=Thom |date= 2015 |title=Jost Bürgi's Method for Calculating Sines |arxiv=1510.03180}}</ref><ref name="burgimactutor">MacTutor članak @ Jost Bürgi: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Burgi.html</ref>
[[Општи логаритам]] броја је индекс оног степена од десет који је једнак том броју.<ref>Wиллиам Гарднер (1742) ''Таблес оф Логаритхмс''</ref> Говорећи о броју који захтева много цифара јесте груби наговјештај општег логаритма, који је спомињао [[Архимед]] као „ред броја“.<ref>R.C. Pierce (1977) "A brief history of logarithm", [[Two-Year College Mathematics Journal]] 8(1):22–6.</ref> Први реални логаритми биле су хеуристичке методе које су претварале множење у сабирање, чиме се олакшава брзо рачунање. Неке од тих метода користиле су таблице изведене из тригонометријских идентитета.<ref>Enrique Gonzales-Velasco (2011) ''Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History'', §2.4 Hyperbolic logarithms, str. 117, Springer ISBN 978-0-387-92153-2</ref> Таква метода се назива [[простафереза]].
Изум [[функција (математика)|функције]] сада познате као [[природни логаритам]] почео је као покушај да се обави [[квадратура (математика)|квадратура]] правоугаоне [[хипербола|хиперболе]] од [[Gregoire de Saint Vincent|Грегуар де Сен-Венсана]], белгијског Језуита који је боравио у Прагу. Архимед је написао ''квадратуру хиперболе'' у 3. веку п.н.е, али квадратура за хиперболу измицала је свим напорима док Сен-Венсана није објавио своје резултате 1647. године. Веза коју пружа логаритам између [[геометријска прогресија|геометријске прогресије]] у свом [[аргумент функције|аргументу]] и [[Аритметичка прогресија|аритметичке прогресије]] вредности, подстакла је [[Alphonse Antonio de Sarasa|А. А. де Сараса]] да направи везу између Сен-Венсанове квадратуре и традиције логаритама у простаферези, што је довело до појма „хиперболни логаритам“, синомним за природни логаритам. Ускоро је нова функција прихваћена од стране научника: [[Кристијан Хајгенс|Хајгенса]], Патавија, и [[James Gregory (математичар)|Џејмса Грегорија]]. Нотацију -{''Log y''}- је увео [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбниц]] 1675. године,<ref>[[Florian Cajori]] (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", [[American Mathematical Monthly]] 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.</ref> а следеће године он ју је повезао са [[интеграл]]ом <math>\int \frac{dy}{y} .</math>
== Логаритамке таблице, логаритамска скала и историјске примене ==
[[Датотека:Logarithms Britannica 1797.png|thumb|360px|right|Објашњење логаритма из 1797. године, ''[[Енциклопедија Британика]]'']]
Поједностављењем тешких прорачуна, логаритми су допринијели развоју науке, нарочито [[астрономија|астрономије]]. Били су значајни за напредак у [[анкета|анкетирање]], [[небеска навигација|небеској навигацији]] и другим доменама. [[Пјер Симон Лаплас]] називао је логаритме:
::"...дивљења вредно лукавство које, редуковањем на неколико дана рад од неколико месеци, умножава живот астронома, те га поштеђује грешака и гађења које узрокује дуги прорачун."<ref>{{Citation |last1=Bryant |first1=Walter W. |title=A History of Astronomy |url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up |publisher=Methuen & Co|location=London }}, str. 44</ref>
Кључни алат који је допустио практичну употребу логаритама пре дигитрона и рачунара биле су ''[[логаритамска таблица|логаритамске таблице]]''.<ref>{{Citation | last1=Campbell-Kelly | first1=Martin | title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher=[[Oxford University Press]] | series=Oxford scholarship online | isbn=978-0-19-850841-0 | year=2003}}, sekcija 2</ref> Прву такву таблицу компајлирао је [[Henry Briggs (математичар)|Хенри Бригс]] 1617. године, одмах након Неперовог изума. Накнадно, направљене су таблице са повећаним опсегом. Ове таблице су листале вредности од -{log<sub>''b''</sub>(''x'')}- и -{''b''<sup>''x''</sup>}- за сваки број ''x'' у одређеном опсегу, са одређеном прецизношћу, за одређену базу -{''b''}- (често {{nowrap begin}}''b'' = 10{{nowrap end}}). На пример, Бригсова прва табела садржавала је опште логаритме свих целих бројева у низу 1–1000, са прецизношћу од 14 цифара. Како је функција {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}} инверзна функција од -{log<sub>''b''</sub>(''x'')}-, била је названа '''антилогаритам'''.<ref>{{Citation|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun |title= Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |publisher= [[Dover Publications]]|location=New York |isbn= 978-0-486-61272-0 |edition=10th|year=1972}}, секција 4.7., стр. 89</ref> Производ и коефицијент од два позитивна броја -{''c''}- и -{''d''}- били су рутински рачунати као сума и разлика њихових логаритама. Производ -{''cd''}- или коефицијент -{''c''/''d''}- dолазио је од узимања антилогаритма збира или разлике, такође преко исте табеле:
:<math> c d = b^{\log_b (c)} \, b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,</math>
и
:<math>\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_b (c) - \log_b (d)}. \,</math>
Калет је [[1795]]. дао логаритме од 100.000 до 108.000 са тачношћу до осме децимале. Једина битна екстензија Влакуове таблице је дао Санг [[1871]]. чија је таблица имала логаритме свих бројева до 200.000 на седам децимала.
Линија 107 ⟶ 205:
Дати логаритам је за углавном [[ирационалан број|ирационалан]] за већину улазних променљивих.
== Аналитичка својства ==
Дубље студије логаритама захтевају концепт ''[[функција (математика)|функције]]''. Функција је правило које, када му се да број, производи неки други број.<ref>{{Cite book | last1=Devlin | first1=Keith | author1-link=Keith Devlin | title=Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics | publisher=Chapman & Hall/CRC | location=Boca Raton, Fla | edition=3rd | series=Chapman & Hall/CRC mathematics | isbn=1-58488-449-5 | year=2004 | url=https://books.google.com/books?id=uQHF7bcm4k4C&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false}}</ref> Пример је функција која производи {{nowrap|''x''-ти}} степен од -{''b''}- за било који реалан број ''x'', где је база -{''b''}- фиксни број. Ова се функција пише као
:<math>f(x) = b^x. \, </math>
=== Логаритамска функција ===
Да би се оправдала дефиниција логаритама, потребно је показати да једначина
:<math>b^x = y \,</math>
има решење ''x'' и да је решење јединствено, под условом да је ''y'' позитиван и да је -{''b''}- позитиван и различит од 1. Доказ овог случаја захтева теорему о средњој вредности из елементарног [[калкулус]]а.<ref name=LangIII.3>{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Undergraduate analysis|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|year=1997}}, sekcija III.3</ref> Ова теорема држи да [[непрекидна функција]] која производи две вредности -{''m''}- и -{''n''}- такође производи било коју вредност која лежи између -{''m''}- и -{''n''}-. Функција је ''непрекидна'' ако не „скаче“, тј. ако се њен график може нацртати без подизања оловке.
Ово својство може бити показано да важи за функцију {{nowrap begin}}-{''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>}-{{nowrap end}}. Пошто -{''f''}- узима произвољно велике и произвољно мале позитивне вредности, било који број {{nowrap|''y'' > 0}} лежи између -{''f''(''x''<sub>0</sub>)}- и -{''f''(''x''<sub>1</sub>)}- за одговарајући ''x''<sub>0</sub> анд ''x''<sub>1</sub>. Стога, теорема о средњој вредности осигурава да једначина -{''f''(''x'') = ''y''}- има решење. Штавише, постоји само једно решене за ову једначину, јер је функција -{''f''}- [[монотона функција|строго растућа]] (за {{nowrap|-{''b''}- > 1}}), или строго опадајућа (за {{nowrap|0 < -{''b''}- < 1}}).<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997 |nb=yes|loc=section IV.2}}</ref>
Јединствено решење ''x'' је логаритам од ''y'' за базу -{''b''}-, -{log<sub>''b''</sub>(''y'')}-. Функција која додељује ''y'' свој логаритам зове се ''логаритамска функција'' или ''логаритмична функција'' (или само ''логаритам'').
Функција -{log<sub>''b''</sub>(''x'')}- је у суштини окаракерисана формулом производа изнад
:<math>\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y).</math>
Прецизније, логаритам за сваку базу {{nowrap|-{''b''}- > 1}} је само [[растућа функција]] -{''f''}- од позитивних реалних бројева до реалних бројева који задовољавају {{nowrap begin}}-{''f''(''b'') = 1}-{{nowrap end}} и <ref>{{cite book| title=Foundations of Modern Analysis |volume=1 |last=Dieudonné |first=Jean |page=84 |year=1969 |publisher=Academic Press }} item (4.3.1)</ref>
:<math>f(xy)=f(x)+f(y).</math>
== Види још ==
* [[Логаритамске једначине]]
* [[Логаритамска скала]]
* [[Природни логаритам]]
* [[Бесконачни логаритам]]
* [[Итеративни логаритам]]
* [[Дискретни логаритам]]
* [[Логаритам матрице]]
* [[Децибел]]
== Напомене ==
{{reflist|group=nb|30em}}
== Референце ==
{{reflist|30em}}
== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Logarithm}}
* -{[http://wayback.archive.org/web/20121218200616/http://www.khanacademy.org/math/algebra/logarithms-tutorial Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures]}-
* {{springer|title=Logarithmic function|id=p/l060600}}
* {{Citation|author=Colin Byfleet |url=http://mediasite.oddl.fsu.edu/mediasite/Viewer/?peid=003298f9a02f468c8351c50488d6c479 |title=Educational video on logarithms|accessdate=12. 10. 2010}}
{{Authority control}}
[[Категорија:Логаритми]]
| |||